forum.zadania.info

Obliczyć wszystkie pochodne drugiego rzędu funkcji \(f(x,y)=ln \sqrt{x^2+y^2}\) .

proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
pozdrawiam

\(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x = \frac{x}{x^2+y^2}\)

\(f''_{xx} = \frac{x^2+y^2 - x \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\)

\(f''_{xy} = \frac{-x \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\)

\(f'(y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2y = \frac{y}{x^2+y^2}\)

\(f''_{yy} = \frac{x^2+y^2 - y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2 }{(x^2+y^2)^2}\)

\(f''_{yx} = \frac{-y \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = - \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\)