PRAWDOPODOBIEŃSTWO

[Doris0003]

1.W wagonie kolejowym jedzie 8 pasażerów, a wśród nich jest 1 przemytnik. Celnik wybiera losowo do kontroli 2 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi na przemytnika?
2.Ze zbioru {2,3,4,5,6} losujemy 2 razy liczbę bez zwracania. Opisz zbiór zadań elementarnych dla tego doświadczenia, a następnie oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 liczb których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
3. Gracz rzuca 4 razy moneta. Jezeli liczba wyrzuconych orlow jest wieksza od liczby wyrzuconych reszek to wygrywa. W pozostalych przypadkach przegrywa. Oblicz prawdopodobienstwo wygranej.
4. W turnieju szachowym kazdy rozgrywal jedna partie z kazdym ze swoich przeciwnikow. Ilu bylo szachistow jezeli rozegrano 66 partii.

[Pol]

Zad.1

Najlepiej rozwiązać za pomocą "drzewka".
Na przemytnika można trafić na 2 sposoby (\(A_1\) i \(A_2\))

\(A_1\) - pierwsza wybrana osoba będzie przemytnikiem
\(P(A_1) = \frac 1 8\)

\(A_2\) - pierwsza wybrana osoba nie będzie przemytnikiem a druga będzie
\(P(A_2) = \frac 7 8 \cdot \frac 1 7 = \frac 1 8\)

Aby złapać przemytnika musi zajść zdarzenie \(A_1\) lub \(A_2\)

\(P(A) = P(A_1)+P(A_2) = \frac 2 8 = \frac 1 4\)

Zad.2

\(n=5
k=2\)

Mamy do czynienia z wariacją 2-elementową ze zbioru 5-elementowego bez powtórzeń.

\(V_n^k=\frac {n!} {(n-k)!}\)

\(\Omega=\{\ (2 , \ 3)\ ,\ (2 ,\ 4)\ ,\ (2 ,\ 5)\ ,\ ...\ ,\ (6 ,\ 5)\ \}\)

\(\overline{\overline{\Omega}} = \frac {5!} {(5-2)!} =4\cdot 5\)

\(A=\{\ (3, \ 5)\ ,\ (5,\ 3)\ \}\)

\(\overline{\overline{A}} = 2\)

\(P(A) = \frac 2 {4\cdot 5} = \frac 1 {10}\)

Zad.3

\(n = 2
k = 4\)

wariacja z powtórzeniami

\(\overline{V} _n^k=n^k\)

\(\overline{\overline{\Omega}} = 2^4 = 16\)

\(A=\{(o,o,o,o), (o,o,o,r),(o,o,r,o),(o,r,o,o),(r,o,o,o)\}\)

\(\overline{\overline{A}} =5\)

\(P(A) = \frac 5 {16}\)

Zad.4

\(n=n
k=2\)

Kombinacje bez powtórzeń

\(C_n^k=\frac {n!} {k!(n-k)!}\)

\(C_n^2 = 66\)

\(\frac {n!} {2!(n-2)!} = 66
\frac {n!} {(n-2)!} = 132
n(n-1)=132
n^2-n-132=0\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{529}=23\)

\(n_1=\frac {1-23} 2 = -11 \ \notin \ D
n_2=\frac {1+23} 2 = 12\)

Odp. \(12\)