Pole ściany bocznej..

[eW77]

Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe polu jego podstawy. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy krawędź boczna tego ostrosłupa z płaszczyzną podstawy.

[bolc]

Mamy policzyć sinus kąta ECF. Mój plan jest taki. Wystarczy policzyć długość wysokości ostrosłupa H. Długość odcinka EG wynosi \(\frac{a }{2}\) ponieważ, jest to połowa boku podstawy (czyli kwadratu, bo ostrosłup jest prawidłowy). Wystarczy teraz policzyć wysokość h ściany bocznej. Należy w tym momencie skorzystać z faktu, że pole podstawy jest równe polu ściany bocznej.

h = wysokość ściany bocznej

\(a^2= \frac{1}{2} ah \Leftrightarrow h=2a\)

Mając h łatwo możemy policzyć H. Z tw pitagorasa mamy:

\(H= \sqrt{h^2-(\frac{a}{2})^2 } \Leftrightarrow H = \sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4} } \Leftrightarrow H= \frac{a \sqrt{15} }{2}\)

\(sin \alpha = \frac{H}{FC}\) Widać, że brakuje nam jeszcze długości FC, ale można ją również łatwo policzyć z tw. pitagorasa dla trójkąta ECF

\(FC= \sqrt{H^2+ (\frac{a \sqrt{2} }{2})^2 } \Leftrightarrow FC= \sqrt{ \frac{15a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} } \Leftrightarrow FC= \frac{a \sqrt{17} }{2}\)

No i teraz liczymy szukany sinus:

\(sin \alpha = \frac{H}{FC} \Leftrightarrow sin \alpha = \frac{a \sqrt{15} }{2} \cdot \frac{2}{a \sqrt{17} } = \frac{ \sqrt{255} }{17}\)