Wykaż, że jeśli A, B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni , to \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
czy mogę to udowodnić w ten sposób?
\(P(A \cup B)=P(A \cap B)'\)
\(1-P(A \cap B)+P(A \cap B)=P(A)+P(B)\)
\(P(A)+P(B)=1\)
Wykazać równość
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Nie bardzo rozumiem, co udowadniasz.
Ja zrobiłabym tak:
\([A=(A \setminus B) \cup (A \cap B)\ \wedge \ (A \setminus B) \cap (A \cap B)= \emptyset ]\ \Rightarrow \ P(A)=P(A \setminus B)+P(A \cap B)\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ P(A \setminus B)=P(A)-P(A \cap B)\)
\([A \cup B=(A \setminus B) \cup B\ \wedge \ (A \setminus B) \cap B= \emptyset ]\ \Rightarrow P(A \cup B)=P(A \setminus B)+P(B)=\\=P(A)-P(A \cap B)+P(B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
Ja zrobiłabym tak:
\([A=(A \setminus B) \cup (A \cap B)\ \wedge \ (A \setminus B) \cap (A \cap B)= \emptyset ]\ \Rightarrow \ P(A)=P(A \setminus B)+P(A \cap B)\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ P(A \setminus B)=P(A)-P(A \cap B)\)
\([A \cup B=(A \setminus B) \cup B\ \wedge \ (A \setminus B) \cap B= \emptyset ]\ \Rightarrow P(A \cup B)=P(A \setminus B)+P(B)=\\=P(A)-P(A \cap B)+P(B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)