forum.zadania.info

Zad.

A) Sprawdź, czy równość \(sin( \alpha + \beta ) \cdot sin( \alpha - \beta )=sin^2 \alpha -sin^2 \beta\) jest tożsamością trygonometryczną.

B) Udowodnij, że jeśli \(\alpha\) i \(\beta\) są dwoma kątami trójkąta i \(sin( \alpha - \beta )=sin^2 \alpha -sin^2 \beta\), to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym lub równoramiennym.

A)
Prawa strona= (sinA - sinB)(sinA + sinB) = 2 sin(A+B)/2 * cos(A - B)/2 * 2 sin(A+B)/2 * cos(A-B)/2 =
= 2 sin(A-B)/2 * cos(A-B)/2 * 2 sin(A+B)/2 * cos(A+B)/2 [teraz wzór na sin (2x) = 2 sinx *cosx]
= sin(A-B) * sin(A+B) = L
B) [sinA]^2 - [sinB]^2 =sin(A+B) * sin(A-B) zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem.
Jeśli [sinA]^2 - [sinB]^2 = sin(A - B) , to znaczy,że sin (A+B) = 1 czyli A+B=90 stopni,a to znaczy,że trójkąt jest prostokątny.