Ker i Im

[Filip25]

Znajdz Kerf, Imf, ich wymiary oraz bazy dla następującego odwzorowania liniowego:
\(f(x,y,z)=(2x-y-z,x+y+4z,2x+y+5z,-x-z)\)

Sprawdź czy f jest mono-, epi- lub izomorfizmem.

[janusz55]

Żeby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wiedzieć co oznaczają napisy:
- \( Ker(f), \)

-\( Im(f). \)

[Filip25]

ker - jądro
im-obraz

[janusz55]

Super!

Co to jest jądro przekształcenia \( f: V \rightarrow W \)

\( ker(f) = \{ ...\} \subset V ? \)

Co to jest obraz przekształcenia \( f: V \rightarrow W \)

\( im(f) = \{ ...\} \subset W ? \)

[Filip25]

no z tym juz gorzej ;(

[janusz55]

\( ker(f) = \{\vec{x}\in V: f(\vec{x}) = \vec{0}\} \subset V\)

\( im(f) = \{ f(\vec{x}): \vec{x} \in V \}\subset W \)

Stąd wynika, że aby znaleźć jądro przekształcenia, to do jakiej wartości przyrównujemy równania przekształcenia \( ? \)

Stąd wynika, że aby wyznaczyć obraz przekształcenia \( f \) i korzystając z twierdzenia:

" Jeżeli układ: \( \vec{x_{1}}, ..., \vec{x_{n}} \) rozpina podprzestrzeń \( V, \) to układ \( f(\vec{x_{1}}),..., f(\vec{x_{n}})".\) rozpina \( im f, \) to co musimy sprawdzić?

[Filip25]

przyrównujemy równania przekształcenia do zera, i rozwiązujemu układ równań, tak?

[janusz55]

..... Tak.

[Filip25]

x=-z
y=-3z
\(z \in R\)

i co teraz?

[janusz55]

To nie jest poprawne rozwiązanie.

Z ostatniego - czwartego równania wyznaczamy na przykład \( z \) w zależności od \( x \) i wstawiamy do pierwszych trzech równań.

[Filip25]

no to jak wyznaczyłem z to wychodzi:
z=-x
y=3x

[janusz55]

Dobrze, to teraz składamy to rozwiązanie w postaci wektora kolumnowego:

\( ker(f(x,y,z)) = \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} .\\ . \\ . \\ \end{matrix} \right). \)

[Filip25]

Dobrze, to teraz składamy to rozwiązanie w postaci wektora kolumnowego:

\( ker(f(x,y,z)) = \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} x\\ 3x \\ 3x \\ \end{matrix} \right). \)

i co dalej?

[janusz55]

To jest złe złożenie.

[Filip25]

Dobrze, to teraz składamy to rozwiązanie w postaci wektora kolumnowego:

\( ker(f(x,y,z)) = \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} x\\ 3x \\ -x \\ \end{matrix} \right). \)

i co dalej?