forum.zadania.info

Czy ktoś mógłby to rozwiązać i mi wytłumaczyć choćby jeden przykład jak to działa?
W zbiorze X ={a, b, c, d} dana jest relacja R.
Sprawdzić, czy ta relacja jest: 1) zwrotna, 2)symetryczna, 3) przechodnia, 4) relacją równoważności.
Jeżeli dana relacja jest relacją równoważności, to wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji.
a) R ={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d), (a, c), (a, d), (c, a), (c, d),(d, a), (d, c)}
b) R={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d), (a,b), (b, a), (b, c), (c,b)}
c) R ={(a, a), (b,b), (d, d), (b, c), (c,b), (c, d), (d, c)}
d) R ={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d), (b, c), (c,b)}
e) R ={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, d), (a, d)}
f) R ={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d), (a,b), (b, a), (c, d), (d, c)}
g) R ={(a, a), (a,b), (b, a), (b, c), (c,b), (a, c), (c, a)}
h) R ={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d)}
i) R ={(a, a), (b,b)}
j) R ={(a, a), (b,b), (c, c), (d, d), (a,b), (b, c)}
k) R ={(a,b), (a, c), (b, c), (b, d), (c, d), (d, d)}

Iloczyn kartezjański zbiorów (dziedziny relacji)

\( X \times X = \{a ,b,c.d \}\times \{a,b.c,d\} = \{ (a,a),(b,b),(c,c), (d,d) ,(a,b),(a,c), (a,d), (b,a), (b,c), (b,d),(c,a),c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)\}\) - relacja pełna.

a)
\( R = \{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d), (a,c),(a,d),(c,a),(c,d),(d,a), (d,c)\}.\)

Tabela:
\( \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \\
& a & b & c & d \\ \hline
a & R & & R & R \\ \hline
b & & R & & & & \\ \hline
c & & & R & R \\ \hline
d & R & & R & R \\ \hline
\end{array} \)

1)
Relacja \( R \) jest zwrotna, bo dla każdego elementu \( x \in R \) para \( (x,x) \in R. \)

Zbiór par \( \{(a,a),(b,b), (c,c),(d,d)\} \) należy do zbioru \( R.\)

Oznacza to, że zbiór \( R \) zawiera przekątną (tabela).

2)
Relacja nie jest symetryczna, bo nie prawdą jest, że dla każdych dwóch elementów \( x, y \in X, \) jeśli para jest elementem relacji \( (x,y)\in R \), to para odwrotna też jest \( (y,x) \in R. \)

\( R \) (zawiera tylko pary symetryczne \( (a,d),(d,a), (c,d), (d,c). \)

Zbiór \( R \) nie jest symetryczny względem przekątnej tabeli.

3)
Relacja \( R \) nie jest przechodnia , bo nie prawdą jest, że dla każdych trzech elementów \( x,y, z \in X \) jeśli para \( (x.y) \) należy do \( R, \ \ (x,y) \in R\) i para \( (y, z) \) należy do \( R, \ \ (y,z)\in R \), to para \( (x, z) \) nie należy do \( R, \ \ (x,z)\notin R .\)

Przechodniość zachodzi tylko dla par \( (a,c), (c,d), (a,d). \)

4)
Relacja \( R \) nie jest relacją równoważności.