Równanie kwadratowe z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równanie kwadratowe z parametrem
Znajdź wszystkie wartości parametru \(m\), dla których jeden z pierwiastków równania \((m−5)x^2−2mx+(m−4)=0\) jest mniejszy od \(1\), a drugi zaś większy od \(2\).
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Równanie kwadratowe z parametrem
\( (m-5)x^2 -2mx +(m-4) = 0. \)
Równanie kwadratowe \( ax^2 +bx + c = 0 \) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \( x_{1}, x_{2} \) spełniające warunek \( x_{1}<p <q <x_{2} \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona koniunnkcja warunków:
\( a\neq 0 \) i \( \Delta >0 \) i \( a\cdot f(p) < 0 \) i \( a\cdot f(q) <0 \ \ (*) \)
gdzie:
\( f(p) = ap^2+bp + c, \ \ f(q)= aq^2+bq +c \ \ (**) \)
W naszym równaniu:
\( a = m-5 \neq 0, \ \ m\neq 5. \)
\( \Delta = b^2 -4a\cdot c = 4m^2 -4(m-5)\cdot (m-4) = 4m^2 -4m^2 +36m - 80 = 36m -80 >0 , \ \ m > \frac{80}{36} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}.\)
\( p = 1, \ \ q = 2 , \ \ f(p) = f(1) = (m-5)\cdot 1^2 - 2m\cdot 1+m-4 = -9, \ \ f(2) = (m-5)\cdot 2^2 - 2m\cdot 2 + m-4 = \)
\( = 4m-20 - 4m+m-4 = m-24. \)
Z \( (*) (**) \)
\( m\neq 5 \) i \( m > 2\frac{2}{9} \) i \( (m-5)\cdot(-9) < 0 \) i \( (m-5)\cdot (m-24) < 0.\)
Przedstawiamy ten układ warunków na osi liczbowej \( Om \) i otrzymujemy \( m\in (5, \ \ 24). \)
Równanie kwadratowe \( ax^2 +bx + c = 0 \) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \( x_{1}, x_{2} \) spełniające warunek \( x_{1}<p <q <x_{2} \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona koniunnkcja warunków:
\( a\neq 0 \) i \( \Delta >0 \) i \( a\cdot f(p) < 0 \) i \( a\cdot f(q) <0 \ \ (*) \)
gdzie:
\( f(p) = ap^2+bp + c, \ \ f(q)= aq^2+bq +c \ \ (**) \)
W naszym równaniu:
\( a = m-5 \neq 0, \ \ m\neq 5. \)
\( \Delta = b^2 -4a\cdot c = 4m^2 -4(m-5)\cdot (m-4) = 4m^2 -4m^2 +36m - 80 = 36m -80 >0 , \ \ m > \frac{80}{36} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}.\)
\( p = 1, \ \ q = 2 , \ \ f(p) = f(1) = (m-5)\cdot 1^2 - 2m\cdot 1+m-4 = -9, \ \ f(2) = (m-5)\cdot 2^2 - 2m\cdot 2 + m-4 = \)
\( = 4m-20 - 4m+m-4 = m-24. \)
Z \( (*) (**) \)
\( m\neq 5 \) i \( m > 2\frac{2}{9} \) i \( (m-5)\cdot(-9) < 0 \) i \( (m-5)\cdot (m-24) < 0.\)
Przedstawiamy ten układ warunków na osi liczbowej \( Om \) i otrzymujemy \( m\in (5, \ \ 24). \)