Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów

[matfanka]

Mam problem z następującymi zadaniami:
3. Dany jest sześcian ABCDEFGH o przekątnej długości \(6\sqrt3\). Na krawędzi CG tej bryły obrano punkt P taki, że PG=5PC. Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty B, D i P.

4. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 4 i punkt K, który jest środkiem krawędzi CG. Bryłę tę przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki B i H oraz punkt K i otrzymano przekrój, który jest rombem o kącie ostrym 60. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki B i H oraz środek krawędzi FG.

5. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 8, a krawędź boczna jest o 1 dłuższa. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną.

[Jerry]

5. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 8, a krawędź boczna jest o 1 dłuższa. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną.

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

   

2. \(|AB|=8\So (|CS|=9\wedge|BD|=8\sqrt2)\)
3. \(\Delta AQF\sim\Delta ACS\ (k,k)\So |QF|={9\over2}\)
4. \(P_{\Delta BDF}={1\over2}\cdot8\sqrt2\cdot{9\over2}=18\sqrt2\)

Pozdrawiam

[Jerry]

3. Dany jest sześcian ABCDEFGH o przekątnej długości \(6\sqrt3\). Na krawędzi CG tej bryły obrano punkt P taki, że PG=5PC. Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty B, D i P.

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

   

2. \(d=6\sqrt3\So a=6\So\begin{cases}|DB|=6\sqrt2\\|MC|=3\sqrt2\\|PC|=1\end{cases}\)
3. Z \(\Delta MCP\) i tw. Pitagorasa: \(|MP|=\sqrt{(3\sqrt2)^2+1^2}=\sqrt{19}\)
4. \(P_{\Delta DBP}={1\over2}\cdot 6\sqrt2\cdot\sqrt{19}=3\sqrt{38}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

4. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 4 i punkt K, który jest środkiem krawędzi CG. Bryłę tę przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki B i H oraz punkt K i otrzymano przekrój, który jest rombem o kącie ostrym 60. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki B i H oraz środek krawędzi FG.

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

   

2. \(a=4\So |LK|=|AC|=|BD|=4\sqrt2\)
3. \(\alpha=60^\circ\So |BH|=4\sqrt2\cdot\sqrt3=4\sqrt6\)
4. Z \(\Delta DBH\) i tw. Pitagorasa: \(|DH|=h=\sqrt{(4\sqrt6)^2-(4\sqrt2)^2}=8\)
5. Z \(\Delta DMF\) i tw. Pitagorasa: \(|MB|=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}\)
6. Z \(\Delta MGH\) i tw. Pitagorasa: \(|MH|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\)
7. Pozostaje policzenie pola trójkąta o znanych bokach... np.
   • z wzoru cosinusów - cosinus jednego z kątów,
   • z "jedynki" - sinus tego kąta,
   • pole z wzoru z sinusem.
   ale to zostawię Tobie.

Pozdrawiam

[matfanka]

Dziękuję serdecznie, z resztą już sobie poradziłam.
Wynik w zad 4 to \(4 \sqrt {21}\)