Nierówności

[oskzolsql]

Witam, potrzebuje pomocy z rozwiązaniem następujących nierówności:

1. \( \sqrt{4-x^{b}}\ge x\)
2. \(\left| x^{2} + \left| x \right|\right|\lt 6\)
3. \(x-\sqrt{x-3}\lt 9\)

[Tulio]

Czy w pierwszym na pewno mamy \(x^b\)?
2. \(x^2 \ge 0\) oraz \( \left| x \right| \ge 0\) zatem zewnętrzna wartość bezwzględna nic nie zmienia. Mamy:
\(x^2+ \left| x \right|< 6\)
\(x^2+ \left| x \right|- 6 < 0\)
Z faktu, że \(x^2 = \left| x \right|^2\) mamy:
\(\left| x \right|^2+ \left| x \right|- 6 < 0\)
\(t^2+t-6<0,t=\left| x \right| \)
Delta i te sprawy
\(t \in \left( -3, 2\right) \)
\(\left| x \right| \in \left( -3, 2\right) \)
\(\left| x \right| \in \left< 0, 2\right) \)
\(x \in \left( -2, 2\right) \)

[Tulio]

3. \(x- \sqrt{x-3} < 9\)
Dziedzina
\(x \ge 3\)
\(t=\sqrt{x-3}\ge0\)
\(x=t^2+3\)
wstawiamy do nierównosci:
\(t^2+3-t<9\)
\(t^2-t-6<0\)
\(t \in \left( -2, 3\right) \)
\(t \in \left< 0, 3\right) \)
\(x\in \left< 0^2+3, 3^2+3 \right) \)
\(x \in \left< 3, 12\right) \)

Edit: poprawka \( \left( 3,12\right) \) na \(\left< 3,12\right)\) po poniższym poście.

[Jerry]

3. \(x-\sqrt{x-3}\lt 9\)

Niech, dla \(x\ge3\), \(\sqrt{x-3}=t\ge0\). Wtedy
\[(t^2+3)-t<9\\ t^2-t-6<0\\ (t-3)(t+2)<0\qquad|:(t+2)\\t<3\\\sqrt{x-3}<3\qquad|^2\\ x-3<9\\ x\ge3\So x\in[3;12)\]
Pozdrawiam

[oskzolsql]

Możliwe, że w pierwszym jest zamiast b to 6. Ciężko jest mi się wyznać. Dziękuje za pomoc

[Jerry]

Możliwe, że w pierwszym jest zamiast b to 6. ...

Gdyby tak było, to wg Wolframa jest bardzo "brzydkie" rozwiązanie...

Pozdrawiam