Strona 1 z 1
Dowód algebraiczny
: 15 wrz 2024, 21:11
autor: Pasjonat
Bardzo proszę o pomoc
Równanie
\(x^2+2ax-b^2+4=0\) z niewiadomą x nie ma rozwiązań. Wykaż, że
\(|a|<2\) i
\(|b|<2\).
Re: Dowód algebraiczny
: 15 wrz 2024, 21:16
autor: Jerry
Skoro nie ma rozwiązań, to
\[\Delta<0\iff 4a^2+4b^2-16<0\]
Nierówność opisuje wnętrze koła o środku \((0,0)\) i promieniu \(2\). Zatem współrzędne jego punktów spełniają żądane nierówności.
Pozdrawiam
Re: Dowód algebraiczny
: 16 wrz 2024, 12:04
autor: janusz55
Mamy wykazać implikację
Jeśli równanie \( x^2 -2ax +b^2 +4 = 0 \) z niewiadomą \( x\in \rr \) nie ma rozwiązań to \( |a|< 2 \) i \( |b|<2 \)
Przekształcamy równoważnie poprzednik tej implikacji.
\( [x^2 +2ax +b^2 + 4 = x^2 -2ax +a^2-a^2 -b^2 +4 = 0 ]\leftrightarrow [(x^2 - a)^2 - (a^2+b^2 -4) < 0] \leftrightarrow [(x^2 -a)^2 = a^2+b^2 - 4] \)
Aby równanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie miało rozwiązań, kwadrat liczby musi być liczbą ujemną.
Stąd
\( a^2 +b^2 -4 < 0 \)
czyli
\( a^2 + b^2 < 4, \ \ |a|^2 + |b|^2< 4, \ \ |a|< 2 \) i \( |b|< 2. \)
\( \Box \)
Re: Dowód algebraiczny
: 17 wrz 2024, 10:47
autor: matthewhancock
janusz55 pisze: ↑16 wrz 2024, 12:04
Mamy wykazać implikację
Jeśli równanie
\( x^2 -2ax +b^2 +4 = 0 \) z niewiadomą
\( x\in \rr \) nie ma rozwiązań to
\( |a|< 2 \) i
\( |b|<2 \)
Przekształcamy równoważnie poprzednik tej implikacji.
\( [x^2 +2ax +b^2 + 4 = x^2 -2ax +a^2-a^2 -b^2 +4 = 0 ]\leftrightarrow [(x^2 - a)^2 - (a^2+b^2 -4) < 0] \leftrightarrow [(x^2 -a)^2 = a^2+b^2 - 4] \)
Aby równanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie miało rozwiązań, kwadrat liczby musi być liczbą ujemną.
Stąd
\( a^2 +b^2 -4 < 0 \)
czyli
\( a^2 + b^2 < 4, \ \ |a|^2 + |b|^2< 4, \ \ |a|< 2 \) i
\( |b|< 2. \)
\( \Box \)
too complicated for me
)
my perfect hotel
Re: Dowód algebraiczny
: 17 wrz 2024, 13:49
autor: janusz55
What is complicated here?