Znaleźć min i max
\(f(x,y)=xy-y^2\) po dysku \(x^2+y^2 \le 1\)
min i max
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1875
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: min i max
\( f(x,y) = x\cdot y - y^2, \ \ D: x^2 +y^2 \leq 1. \)
\( 1^{o} \ \ (x, \ \ y) \in Int(D) \)
\( \begin{cases} f'_{|x}(x,y) = y, \\ f'_{|y}(x,y) = x - 2y. \end{cases} \)
\( \begin{cases} y =0 \\ x -2y = 0 \end{cases} \)
\( (x_{0}, \ \ y_{0} ) = (0, \ \ 0) \in Int(D).\)
Sprawdzamy, czy w tym punkcie występuje ekstremum lokalne funkcji \( f(x,y).\)
\( f^{''}_{|xx}(x,y) = 0, \ \ f'_{xy}(x,y) = 1 = f^{''}_{|yx}, \ \ f^{''}_{|yy}(x,y) = -2 \)
Macierz drugiej różniczki
\( D^2[f(x,y)] = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \)
\( |0| = 0, \ \ \left |\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right |= 0 - 1 = -1. \)
Macierz drugiej różniczki jest nieokreślona. W punkcie \( (0, \ \ 0) \) - funkcja nie ma ekstremum lokalnego w tym punkcie.
\( 2^{o} \)
Badamy ekstremum funkcji \( f(x,y) \) na brzegu dysku \( \partial D.\)
Zapisujemy funkcję we współrzędnych biegunowych dla \( r =1.\)
\( f(\phi) = \cos(\phi)\cdot \sin(\phi) - \sin^2(\phi) = \frac{1}{2}\sin(2\phi) - \sin^2(\phi)\)
\( f'(\phi) = \cos(2\phi) - \sin(2\phi) = 0 \Leftrightarrow \cos(2\phi) = \sin(2\phi)\)
\( 2\phi = \pm \frac{\pi}{4} , \ \ \phi^{*} = \pm \frac{\pi}{8} .\)
\( f^{''} \left(\frac{\pi}{8} \right ) = -2\sin \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) -2\cos \left (2\cdot \frac{\pi}{8}\right ) = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)= -\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{-4}{\sqrt{2}}<0 \)
Dla \( \phi = \frac{\pi}{8} \) funkcja ma maksimum globalne równe
\( f_{max} = f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) -\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \ \ (1)\)
Obliczamy wartość \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right).\)
\( \cos\left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\)
\( 2\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)) = 1 -\cos\left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1- \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1- \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2} \)
\( \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{4} \)
\( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}}{2} \ \ (2)\)
Z \( (2), (1) \)
\( f_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left( \frac{\sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}}{2}\right)^2 =\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}.\)
Analogicznie znajdujemy minimum globalne funkcji \( f(x,y). \)
\( 1^{o} \ \ (x, \ \ y) \in Int(D) \)
\( \begin{cases} f'_{|x}(x,y) = y, \\ f'_{|y}(x,y) = x - 2y. \end{cases} \)
\( \begin{cases} y =0 \\ x -2y = 0 \end{cases} \)
\( (x_{0}, \ \ y_{0} ) = (0, \ \ 0) \in Int(D).\)
Sprawdzamy, czy w tym punkcie występuje ekstremum lokalne funkcji \( f(x,y).\)
\( f^{''}_{|xx}(x,y) = 0, \ \ f'_{xy}(x,y) = 1 = f^{''}_{|yx}, \ \ f^{''}_{|yy}(x,y) = -2 \)
Macierz drugiej różniczki
\( D^2[f(x,y)] = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \)
\( |0| = 0, \ \ \left |\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right |= 0 - 1 = -1. \)
Macierz drugiej różniczki jest nieokreślona. W punkcie \( (0, \ \ 0) \) - funkcja nie ma ekstremum lokalnego w tym punkcie.
\( 2^{o} \)
Badamy ekstremum funkcji \( f(x,y) \) na brzegu dysku \( \partial D.\)
Zapisujemy funkcję we współrzędnych biegunowych dla \( r =1.\)
\( f(\phi) = \cos(\phi)\cdot \sin(\phi) - \sin^2(\phi) = \frac{1}{2}\sin(2\phi) - \sin^2(\phi)\)
\( f'(\phi) = \cos(2\phi) - \sin(2\phi) = 0 \Leftrightarrow \cos(2\phi) = \sin(2\phi)\)
\( 2\phi = \pm \frac{\pi}{4} , \ \ \phi^{*} = \pm \frac{\pi}{8} .\)
\( f^{''} \left(\frac{\pi}{8} \right ) = -2\sin \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) -2\cos \left (2\cdot \frac{\pi}{8}\right ) = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)= -\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{-4}{\sqrt{2}}<0 \)
Dla \( \phi = \frac{\pi}{8} \) funkcja ma maksimum globalne równe
\( f_{max} = f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) -\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \ \ (1)\)
Obliczamy wartość \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right).\)
\( \cos\left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\)
\( 2\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)) = 1 -\cos\left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right) = 1- \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1- \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2} \)
\( \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{4} \)
\( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}}{2} \ \ (2)\)
Z \( (2), (1) \)
\( f_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left( \frac{\sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}}{2}\right)^2 =\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}.\)
Analogicznie znajdujemy minimum globalne funkcji \( f(x,y). \)