forum.zadania.info

oceń \( \int_{e} (sinx+3y^2)dx+(2x-e^{-y^2})dy \), gdzie e jest granica dysku \(x^2+y^2 \le a^2\) , \(y \ge 0\) zatrzymania zorientowana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

Całka krzywoliniowa - dodatnio skierowana.

Do jej oceny wartości używamy współrzędnych biegunowych.

Prosiłbym o rozpisanie

Zamienimy tą nie przyjemną całkę krzywoliniową - skierowaną po brzegu dysku na całkę przyjazną po obszarze górnego dysku.

Zastosujemy Twierdzenia Greena.

Dysk domknięty \( x^2 + y^2 \leq a^2 \) jest obszarem regularnym \( (D), \) którego brzeg \( \partial D \) jest krzywą zamkniętą- gładką, skierowaną dodatnio wzgłędem \( (D). \)

W domkniętym obszarze \( D \) pole wektorowe \( [P, Q] = [\sin(x) + 3y^2, \ \ 2x - e^{-y^2}] \) jest klasy \( C^{1} \)

Spełnione są założenia Twierdzenia Greena :

\( \int_{(e)} (\sin(x) + 3y^2)dx + (2x -e^{-y^2})dy = \iint_{(D)} (2- 6y) dx dy.\)

Do obliczenia całki podwójnej skorzystamy ze współrzędnych biegunowych.

\( \iint_{(D)} (2- 6y) dx dy = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} [2 - 6r\cos(\phi))] r d\phi dr = \ \ ... \)