całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Filip25
- Często tu bywam
- Posty: 218
- Rejestracja: 14 lis 2022, 12:18
- Podziękowania: 109 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
całka
oceń \( \int_{e} (sinx+3y^2)dx+(2x-e^{-y^2})dy \), gdzie e jest granica dysku \(x^2+y^2 \le a^2\) , \(y \ge 0\) zatrzymania zorientowana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1875
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: całka
Zamienimy tą nie przyjemną całkę krzywoliniową - skierowaną po brzegu dysku na całkę przyjazną po obszarze górnego dysku.
Zastosujemy Twierdzenia Greena.
Dysk domknięty \( x^2 + y^2 \leq a^2 \) jest obszarem regularnym \( (D), \) którego brzeg \( \partial D \) jest krzywą zamkniętą- gładką, skierowaną dodatnio wzgłędem \( (D). \)
W domkniętym obszarze \( D \) pole wektorowe \( [P, Q] = [\sin(x) + 3y^2, \ \ 2x - e^{-y^2}] \) jest klasy \( C^{1} \)
Spełnione są założenia Twierdzenia Greena :
\( \int_{(e)} (\sin(x) + 3y^2)dx + (2x -e^{-y^2})dy = \iint_{(D)} (2- 6y) dx dy.\)
Do obliczenia całki podwójnej skorzystamy ze współrzędnych biegunowych.
\( \iint_{(D)} (2- 6y) dx dy = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} [2 - 6r\cos(\phi))] r d\phi dr = \ \ ... \)
Zastosujemy Twierdzenia Greena.
Dysk domknięty \( x^2 + y^2 \leq a^2 \) jest obszarem regularnym \( (D), \) którego brzeg \( \partial D \) jest krzywą zamkniętą- gładką, skierowaną dodatnio wzgłędem \( (D). \)
W domkniętym obszarze \( D \) pole wektorowe \( [P, Q] = [\sin(x) + 3y^2, \ \ 2x - e^{-y^2}] \) jest klasy \( C^{1} \)
Spełnione są założenia Twierdzenia Greena :
\( \int_{(e)} (\sin(x) + 3y^2)dx + (2x -e^{-y^2})dy = \iint_{(D)} (2- 6y) dx dy.\)
Do obliczenia całki podwójnej skorzystamy ze współrzędnych biegunowych.
\( \iint_{(D)} (2- 6y) dx dy = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} [2 - 6r\cos(\phi))] r d\phi dr = \ \ ... \)