min i max
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Filip25
- Często tu bywam
- Posty: 218
- Rejestracja: 14 lis 2022, 12:18
- Podziękowania: 109 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
min i max
temperatura we wszystkich punktach, według której dysk \(x^2+y^ 2\le 1\) jest określony \(T=(x+y)e^{-x^2-y^2}\). Znajdź minimalną i maksymalną temperaturę w punktach dysku.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1875
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: min i max
\( T(x,y) = (x+y)e^{-x^2 -y^2} \)
Obliczamy współrzędne punktów krytycznych
\( T_{|x} (x,y) = 1\cdot e^{-x^2-y^2} + (x+y) (-2x)e^{-x^2+y^2} = (1-2x^2 - 2xy)e^{-x^2 -y^2} \)
\( T_{|y} (x,y) = 1\cdot e^{-x^2-y^2} + (x+y) (-2y)e^{-x^2+y^2} = (1-2y^2 - 2xy)e^{-x^2 -y^2} \)
\( \begin{cases} T_{|x}(x,y) = 0 \\ T_{|y}(x,y) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1-2x^2-2xy = 0 \\ 1-2y^2 -2xy = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x(x+y) = 1 \\ 2y(x+y) = 1 \end{cases} \)
Dzieląc na przykład drugie równania przez pierwsze, przy założeniu \( (x+y)\neq 0 \) otrzymujemy \( y = x \)
Podstawiamy do równania pierwszego i otrzymujemy \( 4x^2 = 1, \ \ x_{1}= -\frac{1}{2}, \ \ x_{2} = \frac{1}{2}.\)
Współrzędne punktów krytycznych \( P_{1}\left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right), \ \ P_{2}\left( \frac{1}{2}, \ \ \frac{1}{2}\right).\)
Sprawdzamy, czy w punktach tych występuje minimum i maksimum lokalne funkcji \( T(x,y).\)
W tym celu przejdźmy na współrzędne biegunowe.
Rozpatrujemy funkcję \( T( t) = [\cos(t) + \sin(t)] e^{-1} \)
Jej pochodna \( T'(t) = [-\sin(t) + \cos(t)] e^{-1} \) jest równa zeru, gdy \(\sin(t) = \cos(t)\)
otrzymujemy, współrzędne punktów \( \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \ \ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right). \)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
wsp. \ \ punktu & (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) & (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}) & (\frac{1}{\sqrt{2}} ,\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ \hline
T & -\frac{1}{\sqrt{e}} & \frac{1}{\sqrt{e}} & -\frac{\sqrt{2}}{e} & \frac{\sqrt{2}}{e} \\ \hline
\end{array} \)
\( T_{min} = -\frac{-1}{\sqrt{e}}, \ \ T_{max} = \frac{1}{\sqrt{e}}.\)
Obliczamy współrzędne punktów krytycznych
\( T_{|x} (x,y) = 1\cdot e^{-x^2-y^2} + (x+y) (-2x)e^{-x^2+y^2} = (1-2x^2 - 2xy)e^{-x^2 -y^2} \)
\( T_{|y} (x,y) = 1\cdot e^{-x^2-y^2} + (x+y) (-2y)e^{-x^2+y^2} = (1-2y^2 - 2xy)e^{-x^2 -y^2} \)
\( \begin{cases} T_{|x}(x,y) = 0 \\ T_{|y}(x,y) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1-2x^2-2xy = 0 \\ 1-2y^2 -2xy = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x(x+y) = 1 \\ 2y(x+y) = 1 \end{cases} \)
Dzieląc na przykład drugie równania przez pierwsze, przy założeniu \( (x+y)\neq 0 \) otrzymujemy \( y = x \)
Podstawiamy do równania pierwszego i otrzymujemy \( 4x^2 = 1, \ \ x_{1}= -\frac{1}{2}, \ \ x_{2} = \frac{1}{2}.\)
Współrzędne punktów krytycznych \( P_{1}\left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right), \ \ P_{2}\left( \frac{1}{2}, \ \ \frac{1}{2}\right).\)
Sprawdzamy, czy w punktach tych występuje minimum i maksimum lokalne funkcji \( T(x,y).\)
W tym celu przejdźmy na współrzędne biegunowe.
Rozpatrujemy funkcję \( T( t) = [\cos(t) + \sin(t)] e^{-1} \)
Jej pochodna \( T'(t) = [-\sin(t) + \cos(t)] e^{-1} \) jest równa zeru, gdy \(\sin(t) = \cos(t)\)
otrzymujemy, współrzędne punktów \( \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \ \ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right). \)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
wsp. \ \ punktu & (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) & (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) & (-\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}) & (\frac{1}{\sqrt{2}} ,\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ \hline
T & -\frac{1}{\sqrt{e}} & \frac{1}{\sqrt{e}} & -\frac{\sqrt{2}}{e} & \frac{\sqrt{2}}{e} \\ \hline
\end{array} \)
\( T_{min} = -\frac{-1}{\sqrt{e}}, \ \ T_{max} = \frac{1}{\sqrt{e}}.\)