funkcje

[Filip25]

Udowodnij, że funkcje \(f(x,y)= \frac{x}{x^2+y^2} \) są harmoniczne na danej płaszczyźnie wszędzie oprócz punktu (0,0).

[janusz55]

Musimy stwierdzić, że dla \( (0,0) \neq (x,y) \in \rr^2 \) funkcja \( f(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2} \) spełnia równanie Laplace'a:

\( f^{''}_{|x|x|}(x,y) + f^{''}_{|y|y|}(x,y) = 0. \)

[janusz55]

łatwiej rozwiązujemy zadanie we współrzędnych biegunowych.

Zapisujemy naszą funkcję w tych współrzędnych

\( f(r, \phi) = \frac{r\cos(\phi)}{r^2\cos^2(\phi) + r^2\sin^2(\phi)} = \frac{r\cos(\phi)}{r^2(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))} = \frac{\cos(\phi)}{r}.\)

Operator Laplace'a we współrzędnych biegunowych

\( \Delta f = f_{|rr}(r,\phi) + \frac{1}{r}f_{|r}(r, \phi) + \frac{1}{r^2}f_{|\phi \phi}(r, \phi) \)

\( f_{|r}(r,\phi) = -\frac{\cos(\phi)}{r^2}, \ \ f_{|rr}(r,\phi) = \frac{2\cos(\phi)}{r^3} \)

\( f_{|\phi}(r,\phi) = -\frac{\sin(\phi)}{r}, \ \ f_{|\phi \phi}(r, \phi) = -\frac{\cos(\phi)}{r}.\)

Stąd

\( \Delta f = \frac{2\cos(\phi)}{r^3} -\frac{\cos(\phi)}{r^3} - \frac{\cos(\phi)}{r^3} = 0.\)

\( \Box \)