Uklad Równan z parametrem

[PIOTR686]

Zatrzymuje sie w pewnym momencie jak robie macierz rozszerzona zeruje wiersze metoda gaussa no i wchodze w ułamki ktos wie jak to powinno byc zriobione???>

Znajdź rozwiązania podanego układu równań w zależność od parametru \(k\)
\[
\begin{cases}3x - y + z = 1\\
-2x +ky = 1\\
-x + y + kz =3\end{cases}
\]

[janusz55]

Proszę znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań liniowych \( U \)

\( U: \begin{cases} \ \ \ \ 3x -y + z = 1 \\ -2x +ky +0z = 1 \\ -x +y +kz = 3. \end{cases} \)

w zależności od wartosći parametru \( k \)

Metoda wyznacznikowa (Cramera)

Wyznacznik \( W \) układu

\( W = \left |\begin{matrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & k & 0 \\ -1 & 1 & k \end{matrix} \right| = 3k^2 -2 + 0 +k -0 -2k = 3k^2 -k - 2 = 3\left(k+\frac{2}{3}\right)(k-1)\)

Wyznacznik \( W_{x} \) układu

\( W_{x} = \left|\begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 0 \\ 3 & 1 & k \end{matrix} \right| = k^2 +1 + 0 -3k -0 +k = k^2 -2k +1 = (k-1)^2.\)

Wyznacznik \( W_{y} \) układu

\( W_{y} = \left |\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & k \end{matrix} \right| = 3k - 6 + 0 +1 -0 +2k = 5k-5 = 5(k-1).\)

Wyznacznik \( W_{z} \) układu

\( W_{z} = \left |\begin{matrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & k & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{matrix} \right| = 9k -2 + 1 +k -3 -6 = 10k -10 = 10(k-1).\)

Dla \( k\neq -\frac{2}{3} \) i \( k\neq 1 \) - układ \( U \) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie) - płaszczyzny dane równaniami układu przecinają się dokładnie w jednym punkcie

Dla \( k =1 \) układ \( U \) jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań - płaszczyzny dane równaniami układu pokrywają się.

Dla \( k = -\frac{2}{3} \) - układ \( U \) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań) - płaszczyzny dane równaniami układu są wzajemnie do siebie równoległe.

Metoda Gaussa

[Jerry]

Dla \( k =1 \) [...] płaszczyzny dane równaniami układu pokrywają się.

Powinno być: płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej danej równaniem krawędziowym: \(\begin{cases}3x-y+z=1\\-x+y+z=3\end{cases}\)

Dla \( k = -\frac{2}{3} \) - [...] płaszczyzny dane równaniami układu są wzajemnie do siebie równoległe.

Powinno być: Płaszczyzny nie są parami równoległe, ale wszystkie trzy nie mają punktu wspólnego

Miłego wieczoru

[janusz55]

Płaszczyzny przecinają dokładnie w jednym punkcie.

Płaszczyzny są do siebie równoległe.

Płaszczyzny pokrywają.

[Jerry]

Płaszczyzny przecinają dokładnie w jednym punkcie.

Płaszczyzny są do siebie równoległe.

Płaszczyzny pokrywają.

Nie zrozumiałem tego ad vocem

[edited] kończę lekturę tego wątku!

[janusz55]

Polecam podręcznik:

Kuldeep Singh. Linear Algebra. Step by Step. Edition Oxford University Press 2014.

[maria19]

Kto przetłumaczył? Google

[janusz55]

Metoda Gaussa

Macierz układu

\( \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 & 1 \\ -2 & k & 0 & 1 \\ -1 & 1 & k & 3 \end{bmatrix} \)

\( w_{1}\cdot \frac{1}{3} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -2 & k & 0 & 1 \\ -1 & 1 & k & 3 \end{bmatrix} \)

\( w_{2} +2\cdot w_{1} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & k-\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \\ -1 & 1 & k & 3 \end{bmatrix} \)

\( w_{2} + w_{1} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & k-\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & k+ \frac{1}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix} \)

\( w_{2} \cdot \frac{1}{k-\frac{2}{3}} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{\frac{2}{3}}{k-\frac{2}{3}} & \frac{\frac{5}{3}}{k-\frac{2}{3}} \\ 0 & \frac{2}{3} & k+ \frac{1}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix} \)

\( w_{3} - \frac{2}{3} \cdot w_{2} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{\frac{2}{3}}{k-\frac{2}{3}} & \frac{\frac{5}{3}}{k-\frac{2}{3}} \\ 0 & 0 & k+ \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{k-\frac{2}{3}} & \frac{10}{3} - \frac{\frac{10}{9}}{k-\frac{2}{3}} \end{bmatrix} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{\frac{2}{3}}{k-\frac{2}{3}} & \frac{\frac{5}{3}}{k-\frac{2}{3}} \\ 0 & 0 & \frac{(k+\frac{2}{3})(k-1)}{k -\frac{2}{3}} & \frac{\frac{10}{3}(k-1)}{k-\frac{2}{3}} \end{bmatrix} \)

Z ostatniej tablicy układu odczytujemy

Układ jest oznaczony dla \( k \neq 1 \) i \( k \neq \frac{2}{3}. \)

Układ jest nieoznaczony dla \( k = 1.\)

Układ jest sprzeczny dla \( k = \frac{2}{3}. \)

W metodzie Cramera układ jest sprzeczny też dla \( k = \frac{2}{3}. \)