II aksjomat przeliczalnośći

Zbiory, relacje, logika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
toredd
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 03 wrz 2024, 14:46
Płeć:

II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: toredd »

Pokazać, że zbiór R2 z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1875
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 458 razy

Re: II aksjomat przeliczalnośći

Post autor: janusz55 »

Metryka "rzeka":

\( d_{r} = \begin{cases} |y_{1}-y_{2}|, \ \ \text{gdy} \ \ x_{1}=x_{2} \\ |y_{1}|+|y_{2}|+ |x_{1}-x_{2}, \ \ \text{gdy} \ \ x_{1} \neq x_{2}. \end{cases} \)

Wystarczy wykazać, że płaszczyzna \( \rr^2 \) z topologią \(\tau(d_{r}) \) generowaną przez metrykę "rzeka" nie jest przestrzenią ośrodkową.

Istnieje bowiem rodzina kul parami rozłącznych na przykład \( \{\mathcal{B}(x,2), 1 \} \) dla \( x\in \rr \) mocy continuum.

Jeśli istniał by przeliczalny zbiór gęsty, to zawarty byłby w każdej z tych kul, czyli musiał on by mieć moc continuum - sprzeczność

Z definicji przestrzeni ośrodkowej wynika, że zbiór \( \rr^2 \) z topologią generowaną przez metrykę "rzeka" nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności - nie ma przeliczalnej bazy.