Rzucamy dwa razy monetą. Niech zmienna losowa X będzie równa liczbie orłów w
pierwszym rzucie (tzn. X = 1, gdy wypadł orzeł, X = 0, gdy wypadła reszka), zaś Y będzie równa
liczbie orłów w dwu rzutach. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z := X + Y. Obliczyć wartość
oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej Z.
Zadanie z prawdopodobieństwa Studia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
seddaa
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 28 sie 2024, 23:58
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1875
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa Studia
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie rzetelną monetą.
Rozkłady brzegowe zmiennych losowych \( X, Y:\)
\( X: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & x_{1}=0 & x_{2}=1 & x_{3}=2 \\ \hline
p_{i} & p_{1}=\frac{1}{2} & p_{2}= \frac{1}{2} & p_{3} = 0 \\ \hline
\end{array} \)
\( Y: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & x_{1}=0 & x_{2}=1 & x_{3}=2 \\ \hline
p_{i} & p_{1}=\frac{1}{4} & p_{2}= \frac{1}{2} & p_{3} = \frac{1}{4} \\ \hline
\end{array} \)
Rozkład sumy zmiennych losowych \( Z = X+Y: \)
\( Z: \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & x_{0} = 0 & x_{1}= 1 & x_{2} = 2 & x_{3}= 3 & x_{4}= 4 \\ \hline
p_{i} & p_{0}= \frac{1}{8} & p_{1} = \frac{3}{8} & p_{2} = \frac{3}{8} & p_{3} = \frac{1}{8} & p_{4}= 0 \\ \hline
\end{array} \)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \( Z:\)
\( E(Z) = \sum_{i=0}^{4} x_{i}\cdot p_{i} = 0\cdot \frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} + 4\cdot 0 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.\)
Wariancja zmiennej losowej \( Z: \)
\( V(Z) = \sum_{i=0}^{4} ( x_{i} - E(X))^2\cdot p_{i} = \left( 0 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{8} +\left( 1 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{3}{8} + \left( 2 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{3}{8} + \left( 3 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{8} + \left( 4 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot 0 = \)
\( = \frac{9}{4}\cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{8} + \frac{9}{4}\cdot \frac{1}{8} + \frac{25}{4}\cdot 0 = \frac{9}{32}+ \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{9}{32} \cdot 0 = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}.\)
Rozkłady brzegowe zmiennych losowych \( X, Y:\)
\( X: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & x_{1}=0 & x_{2}=1 & x_{3}=2 \\ \hline
p_{i} & p_{1}=\frac{1}{2} & p_{2}= \frac{1}{2} & p_{3} = 0 \\ \hline
\end{array} \)
\( Y: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & x_{1}=0 & x_{2}=1 & x_{3}=2 \\ \hline
p_{i} & p_{1}=\frac{1}{4} & p_{2}= \frac{1}{2} & p_{3} = \frac{1}{4} \\ \hline
\end{array} \)
Rozkład sumy zmiennych losowych \( Z = X+Y: \)
\( Z: \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & x_{0} = 0 & x_{1}= 1 & x_{2} = 2 & x_{3}= 3 & x_{4}= 4 \\ \hline
p_{i} & p_{0}= \frac{1}{8} & p_{1} = \frac{3}{8} & p_{2} = \frac{3}{8} & p_{3} = \frac{1}{8} & p_{4}= 0 \\ \hline
\end{array} \)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \( Z:\)
\( E(Z) = \sum_{i=0}^{4} x_{i}\cdot p_{i} = 0\cdot \frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} + 4\cdot 0 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.\)
Wariancja zmiennej losowej \( Z: \)
\( V(Z) = \sum_{i=0}^{4} ( x_{i} - E(X))^2\cdot p_{i} = \left( 0 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{8} +\left( 1 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{3}{8} + \left( 2 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{3}{8} + \left( 3 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{8} + \left( 4 -\frac{3}{2}\right)^2\cdot 0 = \)
\( = \frac{9}{4}\cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{8} + \frac{9}{4}\cdot \frac{1}{8} + \frac{25}{4}\cdot 0 = \frac{9}{32}+ \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{9}{32} \cdot 0 = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}.\)