Własności relacji

[kamil199694]

Niech będzie dany zbiór \(X=\{0,1,2,3\}\). Określamy relację: \(x\mathcal{R}y\Leftrightarrow x+y\le 4\). Określić, czy podana relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Proszę o sprawdzenie i ewentualne uwagi:
1. Relacja nie jest zwrotna, ponieważ 3 nie jest w relacji z 3.
2. Relacja jest symetryczna (wynika z przemienności dodawania).
3. Relacja nie jest antysymetryczna \(1\mathcal{R}2\) i \(2\mathcal{R}1\), ale \(1\neq 2\).
4. Relacja nie jest przechodnia, kontrprzykład: \(x=3, y=1, z=2\).
5. Relacja nie jest spójna, kontrprzykład: \(x=3, y=2\).

[janusz55]

Dane:

Zbiór \( X = \{0,1,2,3\} \) - poprzedników relacji.

\( x\mathcal{R}y\Leftrightarrow x+y \leq 4 \) - relacja dwuargumentowa

Określamy zbiór \( Y \) - następników relacji

\( y \leq 4 - x \)

\( y(0) \leq 4-0 = 4,\)

\( y(1) \leq 4-1 = 3,\)

\( y(2) \leq 4-2 = 2 \)

\( y(3) \leq 4 - 3 = 1\)

Na podstawie definicji relacji dwuargumentowej (dwuczłonowej):

\( \mathcal{R} \subset X \times Y=\{ 0,1,2,3\} \times \{1,2,3,4\} =\{(0,0), (0,1),(0,2), (0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), \)
\( (3,4)\} \)

I
Relacja jest zwrotna, bo \(\forall_{ x\in X} \ \ x\mathcal{R} x, \ \ (x,x) \in \{ (0,0),(1,1),(2,2),(3,3)\} \)

II
Relacja nie jest symetryczna, bo \( \sim \left[ \forall_{x\in X} \ \ \forall_{y\in Y} \ \ (x,y)\in \mathcal{R} \Rightarrow (y, x) \in \mathcal{R}\right] \)

na przykład \( (3, 4) \in \mathcal{R} \Rightarrow ( 4, 3) \notin \mathcal{R}.\)

III
Relacja nie jest antysymetryczna (asymetryczna), bo \( \sim \left[ \forall_{x\in X} \ \ \forall_{y\in Y} \ \ (x,y)\in \mathcal{R} \Rightarrow (y, x) \notin \mathcal{R}\right] \)

Na przykład \( (1,2) \in \mathcal{R} \Rightarrow (2, 1) \in \mathcal{R}. \)

IV
Relacja jest przechodnia, bo \( \left[ \forall_{x,y,z} \left( (x,y)\in \mathcal{R} \wedge (y,z) \in \mathcal{R}\right) \Rightarrow \left( ( x,z)\in \mathcal{R}\right)\right]. \)

Na przykład \( (1,3) \in \mathcal{R} \wedge (3,4)\in \mathcal{R} \Rightarrow (1,4) \in \mathcal{R} \)

V
Relacja jest spójna, bo \( \forall_{x\in X} \ \ \forall_{y\in Y} \ \ (x = y \vee x\mathcal{R} y \vee y\mathcal{R} x). \)

[kamil199694]

A relacja \(\mathcal{R}\) nie jest tutaj podzbiorem iloczynu kartezjańskiego \(X\times X\) (tj. \(\mathcal{R}\subset X\times X\))? Bo jeżeli tak zdefiniujemy relację: \(\mathcal{R}=\left\{(x,y)\in X^2: x+y\le 4\right\}\), to czy nie jest tak jak napisałem powyżej? Z góry dzięki za wyjaśnienie

[janusz55]

Mamy drugą zmienną \( y = 4- x. \) Musimy więc określić relację \( \mathcal{R} \) na iloczynie kartezjański \( X \times Y,\) znajdując jej przeciwdziedzinę \( \mathcal{Y} = \mathcal{P(X)}.\)

[kamil199694]

Załóżmy, że treść zadania jest następująca:
"Niech będzie dany zbiór \(X=\{0,1,2,3\}\). Określamy relację: \(\mathcal{R}=\{(x,y)\in X\times X:x+y\le 4\}\). Określić, czy podana relacja jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna."
Wtedy \(y\) to po prostu druga współrzędna punktów, które należą do relacji i \(\mathcal{R}=\{(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)\}\). To czy dla takiej treści zadania moje rozwiązanie nie jest poprawne?

[janusz55]

Zbiór \( y \) określamy ze wzoru, uwzględniając zakres \( X \) czyli dziedziny relacji \( \mathcal{R}.\)

[janusz55]

Przykład

Niech będzie dana forma zdaniowa dwóch zmiennych \( \phi(x,y) = \{ x- y = 1 \wedge x\geq 0 \}.\) Ta forma zdaniowa wyznacza podzbiór

\( \mathcal{R} = \{(x,y)\in \rr^2: x-y = 1 \wedge x\geq 1\} \) produktu kartezjańskiego \( \rr^2, \) a więc pewną relację dwuczłonową.

Wykresem tej relacji jest półprosta. Dziedziną relacji \( \mathcal{R}: \ \ D(\mathcal{R}) = \ \ \rr_{+}\cup \{0\} \)

Zaś przeciwdziedziną \( \mathcal{P(\mathcal{R})} = \langle -1, \ \ +\infty).\)

[kamil199694]

Czy mógłbyś polecić jakąś literaturę odnośnie tej tematyki relacji?

[robbo]

Możesz zacząć tu.