Racjonalizacja mianownika

[urend]

Cześć! Racjonalizuję mianownik, aby wyznaczyć granicę konkretnego problemu w Khan Academy. Chociaż jest to pytanie z rachunku różniczkowego, utknąłem w tej części algebry i myślę, że po prostu popełniam głupi błąd. Problem polega na znalezieniu granicy, gdy x zbliża się do 4 z (2 - sqrt(4x-12)/x-4. Na początek zracjonalizowałem mianownik, mnożąc licznik i mianownik tego wyrażenia przez 2 + sqrt(4x-12 ). Otrzymałem odpowiedź 4 - (4x-12) / ((x-4)(2 + sqrt(4x-12)). Teraz w tym momencie jestem zdezorientowany, ponieważ wyciągnąłem 4 z (4x-12) w liczniku i uzyskaj 4 - 4(x-3) jako licznik, co upraszcza do (x-12). A wtedy nie ma możliwości rozwiązania problemu z (x-3) na górze i (x-4) na dole. Ale w oficjalnym wyjaśnieniu licznik zmienia się z 4 - (4x-12) na -4 (x-4) i nie rozumiem, jak to uzyskać. Gdzie jest błąd w mojej logice z góry.

[janusz55]

\( \Lim_{x\to 4} \frac{2 - \sqrt{4x-12}}{x-4}. \)

Zauważmy, że licznik i mianownik funkcji granicznej dąży do zera. Mamy symbol nieoznaczony \( \frac{0}{0}. \)

Mnożymy licznik i mianownik przez \( 2 + \sqrt{4x-12}.\)

\( \Lim_{x\to 4} \frac{(2 - \sqrt{4x-12})(2 + \sqrt{4x -12})}{(x-4)(2 + \sqrt{4x -12}}= \Lim_{x\to 4} \frac{4-4x +12}{(x-4)(2 + \sqrt{4x-12}}= \Lim_{x\to 4} \frac{-4(x -4)}{(x-4)(2+\sqrt{4x-12}} = \Lim_{x\to 4} \frac{-4 }{2+\sqrt{4x-12}} = -1. \)

Metoda druga - Reguła de'Hospitala.