Czy wektor jest ortogonalny do podprzestrzeni?

[kamil199694]

Sprawdzić, czy wektor \(v\in\mathbb{E}^n\) jest ortogonalny do podprzestrzeni \(\mathbb{E}_0\), jeżeli:
a) \(v=(2,1,-\frac{1}{2})\), \(\mathbb{E}_0=\{(x,y,z):x+2y-3z=0\}\);
b) \(v=(4,-5,-6,3)\), \(\mathbb{E}_0=\text{lin}\{(1,2,-1,0), (2,1,0,-1), (0,0,1,2)\}\).

Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność moich rozwiązań?
Wektor jest prostopadły do podprzestrzeni jeżeli jest on prostopadły do dowolnego wektora z tej podprzestrzeni.

Ad. a)
\(x+2y-3z=0\Leftrightarrow x=-2y+3z\), a zatem wektory należące do naszej podprzestrzeni mają postać \((-2y+3z,y,z)\), gdzie \(y,z\in\mathbb{R}\). Liczymy iloczyn skalarny \((2,1,-\frac{1}{2})\circ (-2y+3z,y,z)=\frac{3}{2}z\neq 0\), a zatem wektor \(v\) nie jest ortogonalny do podprzestrzeni \(\mathbb{E}_0\).

Ad. b)
Podane wektory generują naszą podprzestrzeń. Dowolny wektor należący do podprzestrzeni ma postać: \(\alpha(1,2,-1,0)+\beta(2,1,0,-1)+\gamma(0,0,1,2)=(\alpha+2\beta, 2\alpha+\beta,-\alpha+\gamma,-\beta+2\gamma)\) dla \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\). Liczymy iloczyn skalarny: \((4,-5,-6,3)\circ (\alpha+2\beta, 2\alpha+\beta,-\alpha+\gamma,-\beta+2\gamma)=-12\alpha\), a zatem wektor \(v\) nie jest ortogonalny do podprzestrzeni \(\mathbb{E}_0\).

[Ezic]

Wydaje mi się, że iloczyny skalarne są źle policzone

[kamil199694]

W podpunkcie a) iloczyn skalarny wynosi \(-3y+\frac{11}{2}z\neq0\), a zatem wektor \(v\) nie jest ortogonalny do podprzestrzeni \(\mathbb{E}_0\).

W podpunkcie b) iloczyn skalarny wychodzi 0, a zatem wektor \(v\) jest ortogonalny do podprzestrzeni \(\mathbb{E}_0\).

Rozumiem, że popełniłem tylko błędy obliczeniowe, ale sposób i rozumowanie jest poprawne?

[Ezic]

Tak, chociaż można skorzystać też z faktu, że współczynniki równania płaszczyzny wyznaczają wektor normalny, czyli \(n=(1,2,-3)\), więc jeżeli wektor \(v\) byłby ortogonalny, to musiałby być postaci \(\alpha v = n\), gdzie \(\alpha \in \rr \). Porównując proporcje między współczynnikami wyraźnie widać, że tak nie jest.

[janusz55]

a)
Metoda pierwsza

Niech \( \mathcal{B} = \{ b_{1}, b_{2}, ... . b_{n}\} \) będzie bazą podprzestrzeni \( U \subset V \) wtedy dla dowolnego wektora \( \vec{v}, \ \ \ \ \vec{v} \perp U \leftrightarrow \forall_{i = 1,..., n} \ \ \vec{v} \perp b_{i}.
\)

Znajdujemy bazę podprzestrzeni \( E_{0} = \{ (x,y, z): x+ 2y -3z = 0 \} \)

\( x + 2y - 3z = x \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} = 0.\)

\( \mathcal{B} = \left \{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} \right \} \)

Standardowym iloczynem skalarnym sprawdzamy ortogonalność wektora \( \vec{v} = \left( 2, 1, \frac{1}{2}\right) \) do każdego wektora bazy \( \mathcal{B} \) podprzestrzeni \( E_{0}:\)

\( \vec{v} \cdot b_{1} = \left( 2, 1,\frac{1}{2}\right) \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 2\cdot 1 + 1\cdot 0 + \frac{1}{2}\cdot 0 = 2 \neq 0.\)

\( \vec{v}\cdot b_{2} = \left( 2, 1, \frac{1}{2}\right) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = 2\cdot 0 + 1\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot 0 = 2 \neq 0.\)

\( \vec{v}\cdot b_{3} = \left(2, 1, \frac{1}{2}\right) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} = 2\cdot 0 + 1\cdot 0 + \frac{1}{2}\cdot (-3)= -\frac{3}{2} \neq 0.\)

Wektor \( \vec{v} \) nie jest ortogonalny do podprzestrzeni \( E_{0}.\)


Metoda druga - geometryczna.

Wektor \( \vec{v} \) jest prostopadły do podprzestrzeni \( E_{0} = \{ (x,y,z): x + 2y -3z = 0 \}\) gdy jest równoległy do wektora prostopadłego płaszczyzny.

\( \vec{v} = \left(2, 1, \frac{1}{2}\right) \parallel \vec{n} = (1, 2, -3) \leftrightarrow \left(2, 1, \frac{1}{2}\right) = t\cdot (1, 2, -3), \ \ t\in \rr.\)

Otrzymujemy układ równań

\( \begin{cases} 2 = t, \\ 1 = 2t, \\ \frac{1}{2} = -3t \end{cases} \)

sprzeczny.

Wektor \( \vec{v} \) nie jest ortogonalny do podprzestrzeni \( E_{0}.\)

b)
Wektor \( \vec{v} = (4, -5, -6, 3) \) jest prostopadły do podprzestrzeni \( E_{0} = lin \{ (1,2,-1, 0), (2,1,0,-1), (0, 0, 1, 2) \} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \vec{v} \perp \vec{u}_{lin_{i}}, \ \ i = 1, 2, 3. \)

Standardowym iloczynem skalarnym sprawdzamy kolejno:

\( (4, -5, -6, 3) \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\\ 0\end{bmatrix} = 4\cdot 1 + (-5)\cdot 2 + (-6) \cdot (-1) + 3\cdot 0 = 4 -10 +6 + 0 = 0 \)

\( (4, -5, -6, 3) \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix} = 4\cdot 2 + (-5)\cdot 1 + (-6)\cdot 0 + 3\cdot (-1)= 8 -5 +0 -3 = 0.\)

\( (4, -5, -6, 3) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \\ 2\end{bmatrix} = 4\cdot 0 + (-5)\cdot 0 + (-6)\cdot 1 + 3\cdot 2 = 0 + 0 - 6 + 6 = 0.\)

Wektor \( \vec{v} \) jest ortogonalny do podprzestrzeni \( E_{0}.\)

[janusz55]

W metodzie pierwszej zadania a) znaleźliśmy współrzędne wektorów generujących płaszczyznę \( E_{0} = \{ (x,y, z)\in \rr^3: \ \ x+2y -3z = 0 \} \), nie bazę podprzestrzeni.

Metoda trzecia

Znajdujemy bazę podprzestrzeni \( E_{0} = \{(x,y,z)\in \rr^3: \ \ x+2y -3z = 0 \}\)

W tym celu rozwiązujemy równanie: \( x+2y -3z = 0 \)

Mamy

\( x = -2y + 3z \)

\( \begin{bmatrix} -2s + 3t \\ s \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} s + \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} t , \ \ s,t \in \rr. \)

\( \mathcal{B} = \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \)

Sprawdzamy ortogonalność wektora \( \vec{v} \) do wektorów bazy.

\( \vec{v} \perp \vec{b_{1}} \leftrightarrow \left ( 2, 1, \frac{1}{2}\right) \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= 2\cdot (-2) + 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 0 = -3 \neq 0.\)


\( \vec{v} \perp \vec{b_{2}} \leftrightarrow \left ( 2, 1, \frac{1}{2}\right) \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}= 2\cdot 3 + 1\cdot 0 + \frac{1}{2}\cdot 1 = 6\frac{1}{2} \neq 0.\)

Wektor \( \vec{v} \) nie jest ortogonalny do podprzestrzeni \( E_{0}.\)