równania rożniczkowe

[Filip25]

Rozwiąż:
a).\((xy^2+y)dx+(x^2y+x)dy=0\)
b). \((e^xsiny+2x)dx+(e^xcosy+2y)dy=0\)

[janusz55]

a)
\( (xy^2 +y) dy + (x^2y +x) = 0 \)

\( \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = 2xy +1 = \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}.\)

Jest to równanie w postaci różniczki zupełnej.

Istnieje więc funkcja \( F(x,y), \) taka, że

\( \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = xy^2+ y \\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = x^2 y + x \end{cases} \)

Z układu równań wyznaczamy funkcję \( F(x,y) \).

W tym celu całkujemy na przykład równanie pierwsze układu względem \( x \)

\( F(x,y) = \int (xy^2 + y)dx = \frac{1}{2}x^2y^2 +xy + \phi(y) \ \ (*) \)

gdzie

\( \phi(y) \) jest dowolną funkcja różniczkowalną pełniącą rolę stałej całkowania.

Różniczkujemy względem \( y \) równanie \( (*) \)

\( \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = x^2 y + x + \phi ^{'} (y).\)

Porównując z prawą stronę drugiego równania układu

\( x^2y +x = \phi^{'}(y) = x^2y +x \)

\( \phi^{'}(y) = 0 , \ \ \phi(y) = C_{1} \ \ (**) \)

Podstawiając \( (**) \) do \( (*) \)

\( F(x,y) = \frac{1}{2}x^2y^2 + xy + C_{1} \)

W konsekwencji całka ogólna równania a) ma postać

\( \frac{1}{2}x^2y^2 +xy + C_{1} = C_{2} \)

lub

\( \frac{1}{2}x^2y^2 +xy = C.\)

[janusz55]

Funkcję \( F(x,y) \) możemy też wyznaczyć, korzystając z faktu, że całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania.

Obieramy punkt początkowy na przykład \(( x_{0}, y_{0}) = (0, 0). \)

Całkę łączącą punkt \( (0, 0 ) \) z punktem \( (x,y) \) obliczamy po łamanej:

\( [(0,0), (x, 0), ( x,y)]\)

\( \int_{(0, 0)}^{(x,y)} (ts^2+s)dt +(t^2s +t) ds = \int_{0}^{x} (ts^2 +s)dt + \int_{0}^{y}(x^2s +x)ds = \frac{1}{2}x^2s^2 + xs +\frac{1}{2}x^2y^2 +xy + C = \frac{1}{2}x^2y^2 + xy + \frac{1}{2}x^2y^2 + xy =\)

\(= x^2y^2 + 2xy + C.\)

[janusz55]

Rownanie b) jest też równaniem w postaci różniczki zupełnej (równaniem zupełnym). Rozwiązujemy w ten sam sposób, znajdując funkcję \( F(x,y).\)

[maria19]

Rozwiąż:
a).\((xy^2+y)dx+(x^2y+x)dy=0\)
b). \((e^xsiny+2x)dx+(e^xcosy+2y)dy=0\)

Całki ogólne r-ń:
a) \((xy)^2+2xy= C\)
b) \(e^x\sin y +x^2+y^2=C\)