równania rożniczkowe

[Filip25]

Rozwiąż równanie różniczkowe:
a). \(y \frac{dy}{dx}=x \)
b). \(y''+xsinxy'=y\)
c). \(y''+4y'-3y=2y^2\)

[janusz55]

a)
\( y \frac{dy}{dx}=x\)

Rozdzielamy zmienne:

\( ydy = xdx \)

Obustronnie całkujemy

\( \int ydy = \int xdx \)

\( \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + c \ \ | \cdot 2 \)

\( y^2 = x^2 + C\)

\( y(x) = \pm \sqrt{x^2 + C}.\)

[janusz55]

\(\)c)
\( y" +4y' -3y = 2y^2 \)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

\( y" +4y' -3y = 0 \)

Równanie charakterystyczne

\( r^2 + 4r - 3 = 0 \)

\( r_{1} = -2 -\sqrt{7},\ \ r_{2} = -2 +\sqrt{7}.\)

RORJ: \( y_{o} = C_{1} e^{(-2-\sqrt{7})x} + C_{2} e^{(-2 +\sqrt{7})x} .\)

Rozwiązanie szczególne równania nie jednorodnego RSRN przewidujemy w postaci

\( y_{s} = Ay^2 + By + C \)

\( y'_{s} = 2Ay + B , \ \ y"_{s} = 2A ,\)

\( 2A + 4(2Ay + B) -3(Ay^2 +By + C) \equiv 2y^2\)

\( 2A + 8Ay + 4B -3Ay^2 -3By -3C \equiv y^2 \)

\( -3Ay^2 + (8A -3B)y + 2A -3C \equiv y^2 \)

\( \begin{cases} -3A = 2 \\ 8A -3B = 0 \\ 2A -3C = 0 \end{cases} \)

\( A = -\frac{2}{3}, \ \ B = -\frac{16}{9}, \ \ C = -\frac{4}{9}. \)

\( y_{s} = -\frac{2}{3}x^2 - \frac{16}{9}x - \frac{4}{9}.\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego RORN = RORJ + RSRN

\( y(x) = C_{1} e^{(-2-\sqrt{7})x} + C_{2} e^{(-2 +\sqrt{7})x} -\frac{2}{3}x^2 - \frac{16}{9}x - \frac{4}{9}.\)