Rozwiązanie równania trygonometrycznego w płaszczyźnie zespolonej

[janusz55]

Równanie

\( \sin(z) + \cos(z) = \frac{3}{2}, \) gdy \( z\in\cc \) - ma rozwiązania.

Przekształcamy sumę \( \sin(z) +\cos(z) \) jak dla \( x \in \rr \) (wzór prawdziwy również dla liczb zespolonych).

\(\sin(z)+ \cos(z) = \sin(z) + \sin\left( \frac{\pi}{2} - z \right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(z -\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(z -\frac{\pi}{4}\right)\)

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej w dziedzinie zespolonej:

\( \cos(z) = \cosh(iz), \ \ z \in \zz. \)

Mamy

\(\sqrt{2}\cos\left(z -\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos(i\theta) = \frac{3}{2} \ \ (*) \)

gdzie:

\( \theta = z - \frac{\pi}{4}.\)

Z \( (*) \) mamy \( \theta = \pm \cosh^{-1}\left( \frac{3\sqrt{2}}{4}\right) \)

czyli

\( z = \frac{\pi}{4} \pm \cosh^{-1}\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n = \frac{\pi}{4} \pm area\cosh\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n,\ \ n\in \zz.\)

[Jerry]

Klick Exact forms

Miłego dnia

[janusz55]

Postaci rozwiązań zespolonych tego równania jest multum. Nie posiłkuję się Wolframem.