Dowód, że (1 + 10^n) nie jest liczbą pierwszą dla (n >2)?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
hetoo
Dowód, że (1 + 10^n) nie jest liczbą pierwszą dla (n >2)?
Cześć, badałem sekwencję zdefiniowaną przez (1 + 10 ^ n) i odkryłem, że dla (n = 0), (n = 1) i (n = 2) liczby (2), (11) i (101) są liczbami pierwszymi. Jednakże, gdy (n > 2) wydaje się, że (1 + 10 ^ n) nie jest liczbą pierwszą. Ciekawi mnie, czy ktoś zna dowód lub może podać szczegółowe wyjaśnienie pokazujące, dlaczego (1 + 10 ^ n) nie jest liczbą pierwszą dla (n >2). Wszelkie spostrzeżenia lub odniesienia do istniejących dowodów będą bardzo mile widziane! Dziękuję!
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3800
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 53 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Re: Dowód, że (1 + 10^n) nie jest liczbą pierwszą dla (n >2)?
Analizowałem, to jednak napiszę...
- Jeżeli \(n=2k+1\wedge k\in\nn\), to \(11\mid(10^n+1)\),
np. \(10^5+1=99990+11=11\cdot9090+11=11\cdot9091\). - Jeżeli \(n=4k+2\wedge k\in\nn\), to \(101\mid(10^n+1)\),
np. \(10^6+1=999900+101=101\cdot9900+101=101\cdot9901\). - Pozostaje przypadek \(n=4k\wedge k\in\nn\)...
Intuicja podpowiada mi hipotezę: dla \(n=8k+4\wedge k\in\nn\) mamy \(73\mid(10^n+1)\) a dla \(n=8k\wedge k\in\nn\) mamy \(17\mid(10^n+1)\), ale zabrakło mi samozaparcia,żeby to rozpisać w łatwy do rozszerzenia sposób...