kąt w trójkącie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: kąt w trójkącie
Z dokładnością do podobieństwa, dla uproszenia zapisu,:
Niech \(|AB|=1,\ |AC|=k\in(1; 3)\) (wniosek z istnienia pierwiastków w poniższych rachunkach). Wtedy, w skrócie,:
PS. Duże zagrożenie wystąpienia "bad-klick"
, rachunki "po drodze" - policz samodzielnie
Niech \(|AB|=1,\ |AC|=k\in(1; 3)\) (wniosek z istnienia pierwiastków w poniższych rachunkach). Wtedy, w skrócie,:
- \(|AD|=k-1\),
- przyjmijmy oznaczenia:
- z \(\Delta ADC,\ \Delta ABD\) i tw. Carnota: \(\begin{cases}|AC|^2=\ldots\\|AB|^2=\ldots\end{cases}\So|CD|=|BD|=\sqrt{{-k^2+4k-1\over2}}\)
- z \(\Delta ABD\) i tw. Carnota: \(\cos\beta={3k-5\over4}\)
-
z "jedynki": \(\sin\beta={\sqrt{3(-3k^2+10k-3)}\over4}\) - z \(\Delta ABC\) i tw. Carnota: \(\cos2\gamma={3k^2-8k+3\over2k}\)
- z "jedynki": \(\sin2\gamma=\frac{(k-1)\sqrt{3(-3k^2+10k-3)}}{2k}\)
- z cosinusa kąta podwojonego:
- \(\cos\gamma=\frac{\sqrt3(k-1)}{2\sqrt k}\)
- \(\sin\gamma=\frac{\sqrt{-3k^2+10k-3}}{2\sqrt k}\)
-
z pola \(\Delta ABC\):
\({1\over2}\cdot1\cdot k\cdot\sin2\gamma={1\over2}\cdot\left(1+k+2\sqrt{{-k^2+4k-1\over2}}\right)\cdot r\So r=\frac{(k+1)\sqrt{-3k^2+10k-3}(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{2(k-1)}\) - z \(\Delta ANO\): \(|AO|={r\over\sin\gamma}=\frac{(k+1)\sqrt k(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{k-1}\)
- \(\sin\delta=\sin(\beta-\gamma)=\frac{\sqrt{-3k^2+10k-3}}{4\sqrt k}\)
- z \(\Delta AOM\): \(|MO|=|AO|\cdot\sin\delta=\frac{(k+1)\sqrt{-3k^2+10k-3}(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{4(k-1)}\)
- z \(\Delta MOY\): \(\cos{\alpha\over2}={|MO|\over r}={1\over2}\So \alpha=120^\circ\)
PS. Duże zagrożenie wystąpienia "bad-klick"
![Confused :?](./images/smilies/icon_confused.gif)
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 603 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: kąt w trójkącie
Z przyjętych oznaczeń i treści zadania
\(2\gamma=|\angle BAC|\), bo \(O\) należy do dwusiecznej tego kąta.
Pozdrawiam