Witam wszystkich. Borykam się z zadaniem o następującej treści:
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, gdzie 𝛼, 𝛽, 𝛾 są kątami leżącymi przy wierzchołkach odpowiednio
𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝑅 jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.
b) Wyznacz sin 𝛽, jeśli 𝑎 = 12, 𝑏 = 15 oraz cos 𝛼 = 0,8.
d) Wyznacz cos 𝛽, jeśli 𝑏 = 5, 𝑅 = 10.
e) Wyznacz długość boku 𝑐, jeśli cos 𝛼 = 0,6, cos 𝛾 =12/13, 𝑎 = 24
Dla podpunktu b) wyznaczając najpierw z twierdzenia cosinusów bok c=9 wynika, że trójkąt ABC jest prostokątny, gdyż a^2+c^2=b^2. Jeżeli jest prostokątny to przeciwprostokątna trójkąta jest równa podwojonej wartości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie czyli 15=2R => R=7,5. Korzystając następnie z twierdzenia sinusów wyznaczam wartość sin 𝛽 co jest równe 1, lecz poprawna odpowiedzią jest sin 𝛽=3/4. Czy jest to błąd zadaniu czy ja wykonuje je nie poprawnie?
Dla podpunktu d) wyznaczam wartość sin 𝛽 z twierdzenia sinusów = 15°, następnie odczytuję kąt z tabeli wartości funkcji sinus i wyznaczam wartość cos 𝛽 = (1 + sqrt(3))/(2 sqrt(2)). W odpowiedzi natomiast jest dokładna wartość równa √15/4 lub -√15/4.
Po obliczeniu tych wartości nie są one dokładnie równe.
Dla podpunktu e) również przybliżona wartość nie jest równa dokładniej wartości w odpowiedzi równej 𝑐 = 11 całych i 7/13
Czy istnieje sposób w jaki można wyznaczyć dokładne wartości z podpunktu d) i e) ?
Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.
Dziwny trójkąt ABC. Twierdzenie sinusów? Twierdzenie cosinusów?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1683
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 437 razy
Re: Dziwny trójkąt ABC. Twierdzenie sinusów? Twierdzenie cosinusów?
Jest to zadanie z wykorzystaniem Twierdzenia Sinusów.
Proszę wykonać rysunek trójkąta w pisanego w okrąg o promieniu \( R \) i oznaczonymi kątami \( \alpha, \beta, \gamma \) oraz długościami boków według przyjętej konwencji oznaczeń: \( |\overline{BC}|=a, \ \ |\overline{AC}| = b, \ \ |\overline{AB}| = c.\)
Na przykład podpunkt a):
\( a = 12, \ \ b = 15, \ \ \cos(\alpha) = 0,8.\)
\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} \)
\( \sin(\alpha) = \sqrt{1 -\cos^2(\alpha)}\)
\( \frac{a}{\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}}= \frac{b}{\sin(\beta)} \)
\( \sin(\beta) = \frac{b}{a}\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}\)
\( \sin(\beta) = \frac{15}{12} \sqrt{1- \left(\frac{8}{10}\right)^2}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{100-64}{100}} = \frac{5}{4}\sqrt{\frac{36}{100}} =\frac{5}{4}\cdot \frac{6}{10} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}. \)
Proszę wykonać rysunek trójkąta w pisanego w okrąg o promieniu \( R \) i oznaczonymi kątami \( \alpha, \beta, \gamma \) oraz długościami boków według przyjętej konwencji oznaczeń: \( |\overline{BC}|=a, \ \ |\overline{AC}| = b, \ \ |\overline{AB}| = c.\)
Na przykład podpunkt a):
\( a = 12, \ \ b = 15, \ \ \cos(\alpha) = 0,8.\)
\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} \)
\( \sin(\alpha) = \sqrt{1 -\cos^2(\alpha)}\)
\( \frac{a}{\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}}= \frac{b}{\sin(\beta)} \)
\( \sin(\beta) = \frac{b}{a}\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}\)
\( \sin(\beta) = \frac{15}{12} \sqrt{1- \left(\frac{8}{10}\right)^2}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{100-64}{100}} = \frac{5}{4}\sqrt{\frac{36}{100}} =\frac{5}{4}\cdot \frac{6}{10} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}. \)