Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[rmit]

Znaleźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:\(z=a^2-x^2,y=2x,x+y=a,z=0,y=0\) .Bardzo proszę o pomoc mi notorycznie wychodzi \(\frac{4}{9} a^4 \)w odp jest \(\frac{41}{162} a^4\)

[Tulio]

Punkty przecięcia prostych na płaszczyźnie:
\(A \left( 0,0\right), B \left( a, 0\right), C \left( \frac{a}{3}, \frac{2a}{3}\right) \)
Objętość policzymy jako sumę po dwóch obszarach:
\(D_1= \left\{ \left( x,y\right): 0 \le x \le \frac{a}{3}, 0 \le y \le 2x \right\}, D_2= \left\{ \left( x,y\right): \frac{a}{3} \le x \le a, 0 \le y \le -x+a \right\}\)
Masz do policzenia \( \int_{0}^{\frac{a}{3}} dx \int_{0}^{2x} a^2-x^2 dy + \int_{\frac{a}{3}}^{a} dx \int_{0}^{-x+a} a^2-x^2 dy\)
Całka jest prosta do policzenia. Pierwsza wynosi \(\frac{17}{162} a^4\), druga \(\frac{24}{162} a^4\). Wynik jest \(\frac{41}{162} a^4\)

[rmit]

Dziękuję bardzo

[everett4]

Tak myślałem, bo to w pewnym sensie ma największy sens, ale nie mogę potwierdzić jego objętości, wprowadzając wymiary stożka i kulistej czapki do odpowiednich wzorów, aby znaleźć całkowitą objętość. Powinno pasować do mojej całki podwójnej ocenianej, prawda? (Chyba, że ​​to nie jest dokładnie stożek z kulistą czapką). Jestem całkiem pewien, że poprawnie oceniłem całki, więc moja objętość wydaje się prawidłowa.