forum.zadania.info

Zadanie

Proszę znaleźć asymptoty wykresu funkcji

\( y = \frac{x+3}{12x-4}\)

Rozwiązanie

\( \Lim_{x \to -3^{-}} = \Lim_{x\to -3^{-}} \frac{x+3}{12x-4} = +\infty.\)

\( \Lim_{x \to -3^{+}} = \Lim_{x\to -3^{+}} \frac{x+3}{12x-4} = -\infty.\)

Wykres funkcji ma asymptotę pionową - obustronną \( y = -3.\)

Przekształcamy wzór funkcji

\( y = \frac{x+3}{12x -4} = \frac{1}{4} \left(\frac{x+3}{3x-1}\right) = \frac{1}{12} \left(\frac{3x +9}{3x-1}\right) = \frac{1}{12} \left(\frac{3x -1 +10}{3x-1}\right) = \frac{1}{12}\left( 1 + \frac{10}{3x-1}\right) = \frac{1}{12}+ \frac{1}{12}\frac{10}{3x-1} = \frac{1}{12} + \frac{5}{6(3x-1)}\)

Stąd

\( \mid y - \frac{1}{12} \mid = \frac{5}{6(3x-1)} \rightarrow 0,\) gdy \( x \rightarrow \pm \infty. \)

Wykres funkcji ma asymptotę poziomą o równaniu \( y = \frac{1}{12}.\)

Mam dwa pytania:

1) dlaczego jest napisane, że asymptota pionowa to \(y=-3\)? Skoro asymptoty pionowe mają postać \(x=a\)?

2) dlaczego przy badaniu asymptoty pionowej granica obustronna jest liczona dla \(x\) dążącego do \((-3)\)? Nie powinna w tym przypadku być liczona granica dla \(x\) dążącego do \( \frac{1}{3} \)? Gdyż istnienie asymptot pionowych bada się w punktach nie należących do dziedziny funkcji.

Oba: tak. Asymptotą pionową jest \(x=\frac{1}{3}\) i do tej wartości powinny być liczone granice.

Tak granice jednostronne do zerowania się mianownika przekształconego wzoru funkcji tj \( x_{o} = \frac{1}{3}.\) Przepraszam za niedopatrzenie.