Macierz przekształcenia liniowego

[bamby]

Znaleźć macierz podanego przekształcenia liniowego we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych.

[bamby]

coś zdjęcie się nie chce załadować to tutaj treść zadania L:R1[x] →R2[x],(Lp)(x)=x^2p'(x), p1=2x+3,p2=3x-4, q1=x^2+x, q2=x+1, q3≡1

[janusz55]

Proszę uzupełnić treść zadania.

Mamy dane dwie bazy: \( \mathcal{B}_{1} = \{p_{1}, p_{2}\}, \ \ \mathcal{B}_{2} = \{q_{1}, q_{2}, q_{3}\} ?\)

[bamby]

Mamy dane dwie bazy: \( \mathcal{B}_{1} = \{p_{1}, p_{2}\}, \ \ \mathcal{B}_{2} = \{q_{1}, q_{2}, q_{3}\} ?\)

dokładnie tak

[janusz55]

Proszę podać dokładnie definicję przekształcenia liniowego.

Jeśli uwzględniamy iloczyn \( x^2\cdot p'(x), \) to nie jest przekształcenie liniowe bo występują potęgi \( 2.\)

[bamby]

Zadanie wykładowca podał dokładnie takie jak 2 pierwsze wiadomości i sam bardzo chętnie domyśliłbym się co autor miał na myśli ale brak jakichkolwiek podobieństw do zadań podobnych z polecenia skłonił mnie żeby właśnie tu napisać

[bamby]

Proszę podać dokładnie definicję przekształcenia liniowego.

Jeśli uwzględniamy iloczyn \( x^2\cdot p'(x), \) to nie jest przekształcenie liniowe bo występują potęgi \( 2.\)

Zadanie 11 podpunkt f) z tego linku :
http://prac.im.pwr.wroc.pl/~tjurlew/al2 ... s09_PA.pdf

[janusz55]

Zadanie 11 f)

Dane są dwie bazy: \(\mathcal{B}_{p} = \{ p_{1},\ \ p_{2}\} = \{ 2x+3, \ \ 3x-4 \}, \ \ \mathcal{B}_{q} = \{q_{1}, \ \ q_{2},\ \ q_{3}\} = \{ 1, x+1, x^2+x \} \) odpowiednio przestrzeni liniowych \( \textbf{P} \ \ \textbf{Q}. \)

Macierzą przekształcenia liniowego \( L: \textbf{P} \longrightarrow \textbf{Q} : (L\textbf{p})(x) = x^2\cdot (L \textbf{p'})(x)\) w podanych bazach, nazywamy macierz

\( \mathcal{M}_{\mathcal{B}_{p}}^{\mathcal{B}_{q}} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix} \)

gdzie:

\( \begin{cases} L(p_{1}) = a_{11}\cdot q_{1} + a_{21} \cdot q_{2} + a_{31}\cdot q_{3} \\ L(p_{2}) = a_{12}\cdot q_{1} + a_{22}\cdot q_{2} + a_{32}\cdot q_{3}.\end{cases} \)

Stąd

\( \begin{cases} x^2 \cdot (2x+3)' = x^2\cdot 2 = a_{11}\cdot 1 + a_{12} \cdot (x+1) + a_{31}\cdot(x^2 +x) \\ x^2\cdot (3x-4)' = x^2\cdot 3 = a_{12}\cdot 1 + a_{22}\cdot (x+1) + a_{32}\cdot (x^2+x). \end{cases}\)

Proszę uporządkować i rozwiązać ten układ równań.

Odpowiedź:

\( \mathcal{M}_{\mathcal{B}_{p}}^{\mathcal{B}_{q}} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}. \)

[janusz55]

Z treści zadania wynika, że \( \textbf{P} = \rr_{1}[x], \ \ \mathbf{Q} = \rr_{2}[x]. \)

Korekta
\( \begin{cases} x^2 \cdot (2x+3)' = x^2\cdot 2 = a_{11}\cdot 1 + {a}_{21} \cdot (x+1) + a_{31}\cdot(x^2 +x) \\ x^2\cdot (3x-4)' = x^2\cdot 3 = a_{12}\cdot 1 + a_{22}\cdot (x+1) + a_{32}\cdot (x^2+x). \end{cases}\)