Proszę o pomoc
Znajdz wartosc najmniejsza I najwieksza funkcji \(f(x,y)=x^3+y^2-2y\) na trójkącie o wierzchołkach \(A(1,0)\), \(B(3,0)\), \(C(3,2)\).
Odp. Powinna być: punkty \((0,1)\) poza zbiorem, \(f(3,1)=26, (0,0)\) poza zbiorem, \((0,-1), (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\) poza zbiorem, \(f(3,0)=f(3,2)=27\) Maksimum, \(f(1,0)=1\) Minimum.
wartosc najwieksza I najmniejsza funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: wartosc najwieksza I najmniejsza funkcji
No ale wiem skąd punkt \((0,0), (0,1)\) Maksimum i Minimum, ale nie wiem skąd punkt \((0 -1), (\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\) i \( f(3,1)\).
-
- Często tu bywam
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 61 razy
- Płeć:
Re: wartosc najwieksza I najmniejsza funkcji
\( \cdot \)Punkt \((0,-1)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((-\pi,e)\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((0,0)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((\sqrt{2},\sqrt{77})\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((0,1)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((8!,\frac{1}{9!})\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((321,123)\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((3,1)\) jest poprawnym punktem - należy do obwodu trójkąta (nie jestem pewny czy w zadaniu przez "na trójkącie" rozumie się, "wewnątrz trójkąta [z obwodem]" czy "wyłącznie na obwodzie trójkąta", ale w obu należy), ale nie jest ani maksimum, ani minimum więc nie wiem dlaczego o nim wspomina odpowiedź.
W ogóle jeśli w zadaniu chodzi o ekstrema na obwodzie trójkąta, to zadanie się upraszcza. Znajdujemy bowiem proste zawierające ten obwód:
\(y=0, x\in \left[ 1;3\right] \)
\(x=3, y\in \left[ 0;2\right] \)
\(y=x-1, x\in \left[ 1;3\right] \)
i wstawiamy do funkcji. Kolejno otrzymujemy:
\(f \left( x\right)=x^3, x\in \left[ 1;3\right]\) - minimum w \(\left( 1,0 \right)=1\), maksimum w \(\left( 3,0 \right)=27\)
\(f \left( y\right)=27+y^2-2y, y\in \left[ 0;2\right]\) - minimum w \(\left( 3,1 \right)=26\), które ignorujemy, maksimum w \(\left( 3,2 \right)=27\)
\(f \left( x\right)=x^3 + \left( x-1\right)^2-2 \left( x-1\right) , x\in \left[ 1;3\right]\) - minimum w \(\left( 1,0 \right)=1\), maksimum w \(\left( 3,2 \right)=27\)
i chyba o to chodziło (jak nie, to trzeba całą powierzchnię trójkąta przeanalizować).
PS. Istnieje możliwość, że autorzy odpowiedzi/rozwiązania/zadania rozwiązali zadanie w sposób inny (niż podany w linkach czy powyższy) stąd wychodziły im dodatkowe punkty, które odrzucili - dla nas ta informacja jest zbędna, dla kogoś co też zna "inny" sposób, może być cenna (że poprawnie wykluczył te punkty).
\( \cdot \)Punkt \((0,0)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((\sqrt{2},\sqrt{77})\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((0,1)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((8!,\frac{1}{9!})\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((321,123)\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((3,1)\) jest poprawnym punktem - należy do obwodu trójkąta (nie jestem pewny czy w zadaniu przez "na trójkącie" rozumie się, "wewnątrz trójkąta [z obwodem]" czy "wyłącznie na obwodzie trójkąta", ale w obu należy), ale nie jest ani maksimum, ani minimum więc nie wiem dlaczego o nim wspomina odpowiedź.
W ogóle jeśli w zadaniu chodzi o ekstrema na obwodzie trójkąta, to zadanie się upraszcza. Znajdujemy bowiem proste zawierające ten obwód:
\(y=0, x\in \left[ 1;3\right] \)
\(x=3, y\in \left[ 0;2\right] \)
\(y=x-1, x\in \left[ 1;3\right] \)
i wstawiamy do funkcji. Kolejno otrzymujemy:
\(f \left( x\right)=x^3, x\in \left[ 1;3\right]\) - minimum w \(\left( 1,0 \right)=1\), maksimum w \(\left( 3,0 \right)=27\)
\(f \left( y\right)=27+y^2-2y, y\in \left[ 0;2\right]\) - minimum w \(\left( 3,1 \right)=26\), które ignorujemy, maksimum w \(\left( 3,2 \right)=27\)
\(f \left( x\right)=x^3 + \left( x-1\right)^2-2 \left( x-1\right) , x\in \left[ 1;3\right]\) - minimum w \(\left( 1,0 \right)=1\), maksimum w \(\left( 3,2 \right)=27\)
i chyba o to chodziło (jak nie, to trzeba całą powierzchnię trójkąta przeanalizować).
PS. Istnieje możliwość, że autorzy odpowiedzi/rozwiązania/zadania rozwiązali zadanie w sposób inny (niż podany w linkach czy powyższy) stąd wychodziły im dodatkowe punkty, które odrzucili - dla nas ta informacja jest zbędna, dla kogoś co też zna "inny" sposób, może być cenna (że poprawnie wykluczył te punkty).
-
- Fachowiec
- Posty: 1625
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: wartosc najwieksza I najmniejsza funkcji
Trójkąt o wierzchołkach \( A(1,0), \ \ B(3,0), \ \ C(3,2) \) w układzie współrzędnych prostokątnych \( Oxy. \)
Możemy ten trójkąt z brzegiem opisać jako zbiór:
\( T = \{ (x,y)\in \rr^2: 1 \leq x \leq 3 \wedge0\leq y\leq x -1 \} \)
\( f(x,y) = x^2 + y^2 -2y;\)
Wyznaczamy \( \max_{T} (f(x,y)), \ \ \min_{T}(f(x,y)). \)
Rozwiązując układ równań:
\( \begin{cases} f'_{x}(x,y) =0 \\ f'_{y}(x,y) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 2x = 0 \\ 2y -2 = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y=1 \end{cases} \)
Punkt \( P(0,1) \) nie należy do wnętrza trójkąta \( T.\)
Funkcja nie ma więc ekstremum lokalnego wewnątrz trójkąta \( T.\)
Znajdujemy jej wartości na na brzegach trójkąta \( T.\)
\( br(\overline{AB}): \ \ 1 \leq x \leq 3, \ \ y = 0. \)
\( f(x,y) = f(x,0) = x^2, \ \ f(1,0) = 1^2 = 1, \ \ f(3,0) = 3^2 = 9.\)
\( br(\overline{BC}): \ \ x = 3. \ \ 0 \leq y \leq 2.\)
\( f(x,y) = f(3,y) = 9 + y^2-2y \)
\( y_{0}= \frac{2}{2}= 1.\)
\( f(3,1) = 9+1^2 -2\cdot 1 = 8.\)
\( f(3,0) = 9 + 0^2 - 2\cdot 0 = 9.\)
\( f(3,2) = 9 + 2^2 - 2\cdot 2 = 9 + 4 - 4 = 9.\)
\( br(\overline{AC}): 1 \leq x \leq 3, \ \ y = x-1. \)
\( f(x,y) = f(x, x-1) = x^2 +(x-1)^2 + 2(x-1) = x^2 + x^2 -2x +1 -2x +2 = 2x^2-4x +3.\)
\( x_{0}= \frac{4}{4} = 1, \ \ f(1) = 2\cdot 1^2-4\cdot 1 + 3 = 1.\)
\( f(1,0) = 2\cdot 1^2 -4\cdot 1 + 3 = 2 -4 +3 = 1.\)
\( f(3,2) = 2\cdot 3^2 -4\cdot 3 + 3 = 11.\)
\( max_{T} f(x,y) = \max\{1, 9, 8 ,11\} = 11.\)
\(min_{T}f(x,y) = min\{1,9, 8,11\} = 1.\)
Funkcja osiąga watość największą \( f_{max} \) w wierzchołku \( C(2,3),\) i wartość najmniejszą \( f_{min} = 1 \) w punkcie \( A \) i na boku trójkąta \( \overline{AC}.\)
Gdyby funkcja posiadała ekstremum (elstrema) lokalne wewnątrz trójkąta. Wartość tego ekstremum (ekstremów) należałoby uwzględnić w wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości tej funkcji.
Zadanie rozwiązujemy analogicznie dla funkcji
\( f(x,y) = x^3 +y^2 - 2y. \)
Możemy ten trójkąt z brzegiem opisać jako zbiór:
\( T = \{ (x,y)\in \rr^2: 1 \leq x \leq 3 \wedge0\leq y\leq x -1 \} \)
\( f(x,y) = x^2 + y^2 -2y;\)
Wyznaczamy \( \max_{T} (f(x,y)), \ \ \min_{T}(f(x,y)). \)
Rozwiązując układ równań:
\( \begin{cases} f'_{x}(x,y) =0 \\ f'_{y}(x,y) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 2x = 0 \\ 2y -2 = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y=1 \end{cases} \)
Punkt \( P(0,1) \) nie należy do wnętrza trójkąta \( T.\)
Funkcja nie ma więc ekstremum lokalnego wewnątrz trójkąta \( T.\)
Znajdujemy jej wartości na na brzegach trójkąta \( T.\)
\( br(\overline{AB}): \ \ 1 \leq x \leq 3, \ \ y = 0. \)
\( f(x,y) = f(x,0) = x^2, \ \ f(1,0) = 1^2 = 1, \ \ f(3,0) = 3^2 = 9.\)
\( br(\overline{BC}): \ \ x = 3. \ \ 0 \leq y \leq 2.\)
\( f(x,y) = f(3,y) = 9 + y^2-2y \)
\( y_{0}= \frac{2}{2}= 1.\)
\( f(3,1) = 9+1^2 -2\cdot 1 = 8.\)
\( f(3,0) = 9 + 0^2 - 2\cdot 0 = 9.\)
\( f(3,2) = 9 + 2^2 - 2\cdot 2 = 9 + 4 - 4 = 9.\)
\( br(\overline{AC}): 1 \leq x \leq 3, \ \ y = x-1. \)
\( f(x,y) = f(x, x-1) = x^2 +(x-1)^2 + 2(x-1) = x^2 + x^2 -2x +1 -2x +2 = 2x^2-4x +3.\)
\( x_{0}= \frac{4}{4} = 1, \ \ f(1) = 2\cdot 1^2-4\cdot 1 + 3 = 1.\)
\( f(1,0) = 2\cdot 1^2 -4\cdot 1 + 3 = 2 -4 +3 = 1.\)
\( f(3,2) = 2\cdot 3^2 -4\cdot 3 + 3 = 11.\)
\( max_{T} f(x,y) = \max\{1, 9, 8 ,11\} = 11.\)
\(min_{T}f(x,y) = min\{1,9, 8,11\} = 1.\)
Funkcja osiąga watość największą \( f_{max} \) w wierzchołku \( C(2,3),\) i wartość najmniejszą \( f_{min} = 1 \) w punkcie \( A \) i na boku trójkąta \( \overline{AC}.\)
Gdyby funkcja posiadała ekstremum (elstrema) lokalne wewnątrz trójkąta. Wartość tego ekstremum (ekstremów) należałoby uwzględnić w wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości tej funkcji.
Zadanie rozwiązujemy analogicznie dla funkcji
\( f(x,y) = x^3 +y^2 - 2y. \)
Ostatnio zmieniony 04 maja 2024, 21:21 przez janusz55, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Fachowiec
- Posty: 1625
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: wartosc najwieksza I najmniejsza funkcji
\( f(x,y) = x^3 +y^2 -2y. \)
\( T = \{(x,y)\in \rr^2 : 1 \leq x \leq 3 \wedge 0 \leq y \leq x- 1\}.\)
Wyznaczamy \( \max_{T} (f(x,y)), \ \ \min_{T}(f(x,y)). \)
Rozwiązując układ równań:
\( \begin{cases} f'_{x}(x,y) =0 \\ f'_{y}(x,y) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 3x^2 = 0 \\ 2y -2 = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y=1 \end{cases} \)
Punkt \( P(0,1) \) nie należy do wnętrza trójkąta \( T.\)
Funkcja nie ma więc ekstremum lokalnego wewnątrz trójkąta \( T.\)
Znajdujemy jej wartości na na brzegach trójkąta \( T:\)
\( br(\overline{AB}): \ \ 1 \leq x \leq 3, \ \ y = 0. \)
\( f(x,y) = f(x,0) = x^3, \ \ f(1,0) = 1^3 = 1, \ \ f(3,0) = 3^3 = 27.\)
\( br(\overline{BC}): \ \ x = 3, \ \ 0 \leq y \leq 2.\)
\( f(x,y) = f(3,y) = 27 + y^2-2y \)
\( y_{0}= \frac{2}{2}= 1.\)
\( f(3,1) = 27+1^2 -2\cdot 1 = 26.\)
\( f(3,0) = 27 + 0^2 - 2\cdot 0 = 27.\)
\( f(3,2) = 27 + 2^2 - 2\cdot 2 = 27 + 4 - 4 = 27.\)
\( br(\overline{AC}): 1 \leq x \leq 3, \ \ y = x-1. \)
\( f(x,y) = f(x,x-1) = x^3 +(x-1)^2 - 2(x-1) = x^3 + x^2 -2x +1 -2x +2 = x^3 +x^2 -4x +3.\)
\( f'(x) = 3x^2+2x -4 = 0 \)
\( \Delta = 4 -4\cdot 3 \cdot (-4) = 52.\)
\( x{1} = -\frac{1}{3}(1 + \sqrt{13})\approx -1,55.\)
\( x_{2} = -\frac{1}{3}(1-\sqrt{13})\approx 0,86.\)
\( f(-1,55) = (-1,55)^3 +(-1,55)^2 -4(-1,55) +3 \approx 7,88;\)
\( f(0,86) =(0,86)^3 + 0,86^2 -4(0,86)+3 \approx 0,94. \)
\( f(1,0) = 2\cdot 1^3 -4\cdot 1 + 3 = 2 -4 +3 = 1.\)
\( f(3,2) = 3^3 +2 \cdot 3 + 3 = 27 + 6 +3 = 36 .\)
\( max_{T} f(x,y) = \max\{26; 27; 7,88; 0,94; 1 ; 36\} = 36.\)
\(min_{T}f(x,y) = \min \{26; 27; 7,88; 0,94; 1 ; 36 \} = 1,0.\)
Funkcja osiąga wartość największą \( f_{max} = 36 \) w wierzchołku \( C(2, 3),\) i wartość najmniejszą \( f_{min} = 1,0 \) w wierzołku \( A \) boku \( \overline{AC} \) trójkąta.
Gdyby funkcja posiadała ekstremum lokalne wewnątrz trójkąta. Wartość tego ekstremów należałoby uwzględnić w wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości tej funkcji.
\( T = \{(x,y)\in \rr^2 : 1 \leq x \leq 3 \wedge 0 \leq y \leq x- 1\}.\)
Wyznaczamy \( \max_{T} (f(x,y)), \ \ \min_{T}(f(x,y)). \)
Rozwiązując układ równań:
\( \begin{cases} f'_{x}(x,y) =0 \\ f'_{y}(x,y) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 3x^2 = 0 \\ 2y -2 = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y=1 \end{cases} \)
Punkt \( P(0,1) \) nie należy do wnętrza trójkąta \( T.\)
Funkcja nie ma więc ekstremum lokalnego wewnątrz trójkąta \( T.\)
Znajdujemy jej wartości na na brzegach trójkąta \( T:\)
\( br(\overline{AB}): \ \ 1 \leq x \leq 3, \ \ y = 0. \)
\( f(x,y) = f(x,0) = x^3, \ \ f(1,0) = 1^3 = 1, \ \ f(3,0) = 3^3 = 27.\)
\( br(\overline{BC}): \ \ x = 3, \ \ 0 \leq y \leq 2.\)
\( f(x,y) = f(3,y) = 27 + y^2-2y \)
\( y_{0}= \frac{2}{2}= 1.\)
\( f(3,1) = 27+1^2 -2\cdot 1 = 26.\)
\( f(3,0) = 27 + 0^2 - 2\cdot 0 = 27.\)
\( f(3,2) = 27 + 2^2 - 2\cdot 2 = 27 + 4 - 4 = 27.\)
\( br(\overline{AC}): 1 \leq x \leq 3, \ \ y = x-1. \)
\( f(x,y) = f(x,x-1) = x^3 +(x-1)^2 - 2(x-1) = x^3 + x^2 -2x +1 -2x +2 = x^3 +x^2 -4x +3.\)
\( f'(x) = 3x^2+2x -4 = 0 \)
\( \Delta = 4 -4\cdot 3 \cdot (-4) = 52.\)
\( x{1} = -\frac{1}{3}(1 + \sqrt{13})\approx -1,55.\)
\( x_{2} = -\frac{1}{3}(1-\sqrt{13})\approx 0,86.\)
\( f(-1,55) = (-1,55)^3 +(-1,55)^2 -4(-1,55) +3 \approx 7,88;\)
\( f(0,86) =(0,86)^3 + 0,86^2 -4(0,86)+3 \approx 0,94. \)
\( f(1,0) = 2\cdot 1^3 -4\cdot 1 + 3 = 2 -4 +3 = 1.\)
\( f(3,2) = 3^3 +2 \cdot 3 + 3 = 27 + 6 +3 = 36 .\)
\( max_{T} f(x,y) = \max\{26; 27; 7,88; 0,94; 1 ; 36\} = 36.\)
\(min_{T}f(x,y) = \min \{26; 27; 7,88; 0,94; 1 ; 36 \} = 1,0.\)
Funkcja osiąga wartość największą \( f_{max} = 36 \) w wierzchołku \( C(2, 3),\) i wartość najmniejszą \( f_{min} = 1,0 \) w wierzołku \( A \) boku \( \overline{AC} \) trójkąta.
Gdyby funkcja posiadała ekstremum lokalne wewnątrz trójkąta. Wartość tego ekstremów należałoby uwzględnić w wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości tej funkcji.