Elektron w próżni
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Elektron w próżni
Elektron po przejściu w próżni różnicy potencjałów U=50V wpada w jednorodne pole magnetyczne o indukcji B=0,5 T z prędkością prostopadłą do linii pola. Znajdź promień okręgu, jaki będzie zakreślać elektron.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Elektron w próżni
Dane:
\( U = 50 V. \)
\( B = 0,5 T.\)
Obliczyć:
\( r \) -długość promienia okręgu jaki będzie zakreślał elektron.
Analiza zadania:
Na elektron działa siła Lorentza \( \vec{F} = q\vec{V} \times \vec{B}. \)
Jeżeli elektron porusza się z prędkością \( \vec{v} \) prostopadłą do wektora \( \vec{B}, \) to wartość wektora tej siły jest równa
\( F = |q|v B\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = |q|v B.\)
Przyśpieszenie elektronu \( \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \) ma stałą wartość i jest skierowane prostopadle do prędkości.
Ruch o takich własnościach jest ruchem jednostajnym po okręgu.
Rozwiązanie
Pole magnetyczne nadaje elektronowi przyśpieszenie dośrodkowe \( a = \frac{F}{m} = \frac{|q|v B}{m}. \)
Promień toru wyznaczamy ze związku przyśpieszenia dośrodkowego z prędkością elektronu \( \frac{v^2}{r} = \frac{|q|vB}{m}. \)
Stąd
\( r = \frac{mv}{|q|B} \ \ (1) \)
Wartości prędkości \( v \) elektronu. Ale mamy wyznaczamy z różnicy potencjałów \( U \)
Z zasady zachowania energii energia kinetyczna elektronu \( \frac{mv^2}{2} = qU, \)
zatem
\( v = \sqrt{\frac{2qU}{m}} \ \ (2)\)
Podstawiając \( (2) \) do \( (1) \)
otrzymujemy
\( r = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{|q|B} = \frac{\sqrt{\frac{2m^2 q U}{m q^2}}}{B} = \sqrt{\frac{2mU}{q B^2}} \ \ (3)\) m
Podstawiamy dane liczbowe, wynikające z treści zadania oraz masę elektronu \( m = 9,1\cdot 10^{-31} kg \) i jego ładunek \( q = 1,6\cdot 10^{-19}C \) do wzoru \( (3) \)
mamy
\( r = \frac{\sqrt{\frac{2\cdot 9,1\cdot 10^{-31}(kg)\cdot 50(V)}{1,6\cdot 10^{-19}(C)}}}{0,5(T)} \approx 4,8\cdot 10^{-5} \left[ \frac{\sqrt{\frac{kg\cdot V}{C}}}{T}\right] \approx 4,8\cdot 10^{-5} m. \)
Sprawdzamy zgodność jednostki:
\( 1V = 1\frac{kg\cdot m^2}{A\cdot s^3}, \ \ 1C = 1A\cdot s, \ \ 1T = 1\frac{kg}{s^2\cdot A}. \)
\( [r] = \left[\sqrt{\frac{kg\cdot V}{C T^2}}\right] =\left[\sqrt{\frac{kg^2 \cdot m^2 \cdot s^4\cdot A^2}{A^2\cdot s^4\cdot kg^2}}\right] = \left[\sqrt{m^2}\right] = m. \)
\( U = 50 V. \)
\( B = 0,5 T.\)
Obliczyć:
\( r \) -długość promienia okręgu jaki będzie zakreślał elektron.
Analiza zadania:
Na elektron działa siła Lorentza \( \vec{F} = q\vec{V} \times \vec{B}. \)
Jeżeli elektron porusza się z prędkością \( \vec{v} \) prostopadłą do wektora \( \vec{B}, \) to wartość wektora tej siły jest równa
\( F = |q|v B\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = |q|v B.\)
Przyśpieszenie elektronu \( \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \) ma stałą wartość i jest skierowane prostopadle do prędkości.
Ruch o takich własnościach jest ruchem jednostajnym po okręgu.
Rozwiązanie
Pole magnetyczne nadaje elektronowi przyśpieszenie dośrodkowe \( a = \frac{F}{m} = \frac{|q|v B}{m}. \)
Promień toru wyznaczamy ze związku przyśpieszenia dośrodkowego z prędkością elektronu \( \frac{v^2}{r} = \frac{|q|vB}{m}. \)
Stąd
\( r = \frac{mv}{|q|B} \ \ (1) \)
Wartości prędkości \( v \) elektronu. Ale mamy wyznaczamy z różnicy potencjałów \( U \)
Z zasady zachowania energii energia kinetyczna elektronu \( \frac{mv^2}{2} = qU, \)
zatem
\( v = \sqrt{\frac{2qU}{m}} \ \ (2)\)
Podstawiając \( (2) \) do \( (1) \)
otrzymujemy
\( r = \frac{m\sqrt{\frac{2qU}{m}}}{|q|B} = \frac{\sqrt{\frac{2m^2 q U}{m q^2}}}{B} = \sqrt{\frac{2mU}{q B^2}} \ \ (3)\) m
Podstawiamy dane liczbowe, wynikające z treści zadania oraz masę elektronu \( m = 9,1\cdot 10^{-31} kg \) i jego ładunek \( q = 1,6\cdot 10^{-19}C \) do wzoru \( (3) \)
mamy
\( r = \frac{\sqrt{\frac{2\cdot 9,1\cdot 10^{-31}(kg)\cdot 50(V)}{1,6\cdot 10^{-19}(C)}}}{0,5(T)} \approx 4,8\cdot 10^{-5} \left[ \frac{\sqrt{\frac{kg\cdot V}{C}}}{T}\right] \approx 4,8\cdot 10^{-5} m. \)
Sprawdzamy zgodność jednostki:
\( 1V = 1\frac{kg\cdot m^2}{A\cdot s^3}, \ \ 1C = 1A\cdot s, \ \ 1T = 1\frac{kg}{s^2\cdot A}. \)
\( [r] = \left[\sqrt{\frac{kg\cdot V}{C T^2}}\right] =\left[\sqrt{\frac{kg^2 \cdot m^2 \cdot s^4\cdot A^2}{A^2\cdot s^4\cdot kg^2}}\right] = \left[\sqrt{m^2}\right] = m. \)