Równoległobok

[dytko]

W równoległoboku \(ABCD\) dane są \( |AB| =6\), \(|AD|=4\) i\(|BD|=2 \sqrt{10}\).Oblicz cosinus kąta \(CAD\)

[janusz55]

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=21227

[Tulio]

Sposób 1:
Z twierdzenia cosinusów liczę \(\cos \angle DAB\):
\( \left( 2 \sqrt{10}\right)^2 = 4^2+6^2 - 2\cdot4\cdot6\cdot \cos \angle DAB\)
\(-12 = -48\cos \angle DAB\)
\(\cos \angle DAB = \frac{1}{4}\)
Zatem \(\cos \angle ABC = \cos \left( 180^ \circ - \angle DAB \right) =-\cos \angle DAB = -\frac{1}{4}\)
Stąd liczę przekątną \(AC\):
\(|AC|^2 = 6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\cos \angle ABC\)
\(|AC|^2 = 52-48\cdot \left( -\frac{1}{4}\right) \)
\(|AC|^2 = 64 \ So |AC|=8\)
i ostatecznie mogę policzyć cosinus kąta \(CAD\):
\(6^2=4^2+|AC|^2 - 2\cdot 4\cdot|AC| \cdot \cos \angle CAD\)
\(36 = 16 + 64 - 8\cdot8\cdot\cos \angle CAD\)
\(-44 = - 64\cdot\cos \angle CAD\)
\(\cos \angle CAD = \frac{11}{16}\)

Sposób 2 - bez twierdzenia cosinusów jeżeli to zadanie z podstawy:
Mając boki trójkąta \(4, 6, 2\sqrt{10}\) możemy obliczyć jego pole, a stąd wysokość
Pole: \(P = \sqrt{p \left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }\), gdzie \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Mamy: \(p=\frac{10+2\sqrt{10}}{2}=5+\sqrt{10}\)
\(P = \sqrt{ \left( 5+\sqrt{10}\right) \cdot \left( 5-\sqrt{10}\right) \cdot \left( \sqrt{10}+1\right) \cdot \left(\sqrt{10} - 1\right) } = \sqrt{\left( 25-10\right) \cdot \left( 10 - 1\right)} = 3 \sqrt{15} \)
stąd wysokość opuszczona z wierzchołka \(D\):
\(h=\frac{2P}{a}=\frac{6\sqrt{15}}{6}=\sqrt{15}\)

Dorysowujemy sobie z obu stron równoległoboku trójkąty prostokątne - o tak:

wtedy:
trzeci bok trójkąta prostokątnego z Pitagorasa - mamy: \(1\)
Przekątna \(AC\):
\(|AC|^2=7^2+\sqrt{15}^2 = 49+15=64 \So |AC|=8\)
\(\cos \beta = \frac{7}{8}, \sin \beta = \frac{\sqrt{15}}{8}\)
\(\cos \gamma = \frac{ \sqrt{15} }{4}, \sin \gamma = \frac{1}{4}\)
Szukana wartość:
\(\cos \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \beta- \gamma\right) = \sin \left( \beta + \gamma \right) = \sin \beta \cdot \cos \gamma + \sin \gamma \cdot \cos \beta = \frac{\sqrt{15}}{8} \cdot \frac{ \sqrt{15} }{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{15+7}{32} = \frac{11}{16}\)

[Jerry]

Z \(\Delta ABD\) i wzoru cosinusów:
\[(2\sqrt{10})^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\cos\angle BAD\\
\cos\angle BAD=\frac{36+16-40}{48}=\frac{1}{4}\]
Z własności równoległoboku
\[\cos\angle ABC=-\cos\angle BAD=-\frac{1}{4}\]
Z \(\Delta ABC\) i wzoru cosinusów:
\[|AC|^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\\
|AC|=8\]
Z \(\Delta ACD\) i wzoru cosinusów:
\[6^2=8^2+4^2-2\cdot8\cdot4\cdot\cos\angle CAD\\ \cos\angle CAD=\ldots\]
Pozdrawiam

[edited] Tulio: wzór cosinusów jest w podstawie!

[Tulio]

[edited] Tulio: wzór cosinusów jest w podstawie!

Chodziło mi o wymagania na maturę na poziomie podstawowym, nie o podstawę programową (dla poziomu rozszerzonego). Chyba, że teraz jest też dla poziomu podstawowego wymagany na maturze - nie wiem, za moich czasów nie był i na korkach nie wprowadzam.

[Jerry]

Chyba, że teraz jest też dla poziomu podstawowego wymagany na maturze ...

Tak, powinienem był napisać jest w podstawie podstawowej.

Pozdrawiam

[kacper218]

Chodziło mi o wymagania na maturę na poziomie podstawowym, nie o podstawę programową (dla poziomu rozszerzonego). Chyba, że teraz jest też dla poziomu podstawowego wymagany na maturze - nie wiem, za moich czasów nie był i na korkach nie wprowadzam.

Jeśli udzielasz korepetycji, to warto znać podstawę programową.
Żebym potem nie słyszał od rodziców uczniów w szkole, że korepetytor powiedział, że tego nie trzeba umieć.