forum.zadania.info

Mamy dane 100 śrubek, wśród nich jest 15 wadliwych.
Program ma służyć do rozpoznania wadliwych śrubek. Prawdopodobieństwo, że program poprawnie sklasyfikuje śrubkę wynosi 4/5.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba śrubek sklasyfikowana jako wadliwe będzie z przedziału 10-20 tzn. program zwróci 10 wadliwych, 11 wadliwych... 20 wadliwych.

Model losowania niezależnego śrubek - ze zwracaniem.

Dane do programu:

\( n = 100 \) -ilość wszystkich śrubek.

\( k = 15 \) - ilość śrubek wadliwych.

\( P(S_{+}) = \frac{4}{5}\) - prawdopodobieństwo poprawnego sklasyfikowania śrubki.

\( P(S_{-}) = 1- \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\) - prawdopodobieństwo poprawnego sklasyfikowania śrubki.

Założenia do programu:

Zdarzenia: wylosowania śrubki wadliwej i jej klasyfikacja są niezależne, to znaczy zachodzą równości pomiędzy prawdopodobieństwami tych zdarzeń:

\( p' = P(W\cap S_{+}) = P(W)\cdot P(S_{+}) = \frac{15}{100}\cdot \frac{4}{5} = \frac{60}{500} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} = \frac{12}{100},\)

\( p^{''} = P(W\cap S_{-}) = P(W)\cdot P(S_{-}) = \frac{15}{100}\cdot \frac{1}{5} = \frac{15}{500} = \frac{3}{100}.\)

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia

\( P(\{k \in [10, 20]\}).\)

Rozwiązanie

\( P(\{k\in [10, 20]\}) = \sum_{k=10}^{20} {100\choose k} (p'+p^{''})^{k}\cdot [1- (p'+p^{''})]^{100-k}.\)