Oblicz \(X \cdot A \cdot B=C\) wiedząc, że
\(A=\begin{bmatrix}2 &4& 3\\1&6&2 \end{bmatrix} \)
\(B= \begin{bmatrix}1&2\\5&2\\0&1 \end{bmatrix} \)
\(C= \begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2 \end{bmatrix} \)
działanie macierze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 28
- Rejestracja: 05 kwie 2024, 00:17
- Otrzymane podziękowania: 8 razy
Re: działanie macierze
Macierz \(A\) ma wymiary \(2 \times 3\), macierz \(B\) ma wymiary \(3 \times 2\). Liczba wierszy pierwszej macierzy jest równa liczbie kolumn drugiej macierzy, więc mnożenie macierzy jest wykonalne. W wyniku mnożenia powstanie macierz o wymiarach \(2 \times 2\).
\(A \cdot B=\begin{bmatrix}2&4&3\\1&6&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&2\\5&2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}\)
\(X \cdot \begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2\end{bmatrix}\ / \cdot \nad{P}{\leftarrow}\ \begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}^{-1}\)
Wzór na macierz odwrotną do macierzy \(2 \times 2\):
\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d&{-b}\\{-c}&a\end{bmatrix} \)
\(\begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{{22 \cdot 16}-{31 \cdot 15}} \begin{bmatrix}16&{-15}\\{-31}&22\end{bmatrix}= \frac{-1}{113}\begin{bmatrix}16&{-15}\\{-31}&22\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{ \frac{-16}{113} }&{ \frac{15}{113} }\\{ \frac{31}{113} }& \frac{-22}{113} \end{bmatrix} \)
\(X=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}{ \frac{-16}{113} }&{ \frac{15}{113} }\\{ \frac{31}{113} }& \frac{-22}{113} \end{bmatrix}= \ldots \)
W wyniku ostatniego mnożenia powstanie macierz o wymiarach \(3 \times 2\) i przy cierpliwości w działaniach na ułamkach będzie ostateczny wynik.
\(A \cdot B=\begin{bmatrix}2&4&3\\1&6&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&2\\5&2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}\)
\(X \cdot \begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2\end{bmatrix}\ / \cdot \nad{P}{\leftarrow}\ \begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}^{-1}\)
Wzór na macierz odwrotną do macierzy \(2 \times 2\):
\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d&{-b}\\{-c}&a\end{bmatrix} \)
\(\begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{{22 \cdot 16}-{31 \cdot 15}} \begin{bmatrix}16&{-15}\\{-31}&22\end{bmatrix}= \frac{-1}{113}\begin{bmatrix}16&{-15}\\{-31}&22\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{ \frac{-16}{113} }&{ \frac{15}{113} }\\{ \frac{31}{113} }& \frac{-22}{113} \end{bmatrix} \)
\(X=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}{ \frac{-16}{113} }&{ \frac{15}{113} }\\{ \frac{31}{113} }& \frac{-22}{113} \end{bmatrix}= \ldots \)
W wyniku ostatniego mnożenia powstanie macierz o wymiarach \(3 \times 2\) i przy cierpliwości w działaniach na ułamkach będzie ostateczny wynik.
-
- Fachowiec
- Posty: 2018
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 484 razy
Re: działanie macierze
Mamy rozwiązać równanie macierzowe.Nie obliczyć iloczyn macierzy. Iloczyn macierzy jest równy macierzy \( C.\)
\( X\cdot A\cdot B = C. \)
Mnożymy prawostronnie równanie przez iloczyn \( (A\cdot B)^{-1} \)
\( X\cdot (A\cdot B)\cdot(A\cdot B)^{-1} = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)
\( X\cdot I = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)
\( X = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)
\( X = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\cdot \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 5 & 2\\ 0 &1 \end{bmatrix} \right)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 17 &14\\ 31 & 16 \end{bmatrix}^{-1}\)
\( \begin{bmatrix} 17 &14\\ 31 & 16 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det\begin{bmatrix} 17 &14\\31 & 16 \end{bmatrix}}\cdot \begin{bmatrix}16 &-31\\-14 & 17 \end{bmatrix}^{T} = \frac{1}{17\cdot 16-14\cdot 31}\cdot \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix} =-\frac{1}{162} \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix}\)
Stąd
\( X = -\frac{1}{162} \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix} =-\frac{1}{162}\begin{bmatrix} -77 & 37 \\ -185 & 91 \\ -46 &20 \end{bmatrix}.\)
Sprawdzamy, czy dla tak określonej macierzy \( X \) dany iloczyn macierzy - dane równanie macierzowe jest spełnione.
OCTAVE
\( X\cdot A\cdot B = C. \)
Mnożymy prawostronnie równanie przez iloczyn \( (A\cdot B)^{-1} \)
\( X\cdot (A\cdot B)\cdot(A\cdot B)^{-1} = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)
\( X\cdot I = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)
\( X = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)
\( X = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\cdot \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 5 & 2\\ 0 &1 \end{bmatrix} \right)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 17 &14\\ 31 & 16 \end{bmatrix}^{-1}\)
\( \begin{bmatrix} 17 &14\\ 31 & 16 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det\begin{bmatrix} 17 &14\\31 & 16 \end{bmatrix}}\cdot \begin{bmatrix}16 &-31\\-14 & 17 \end{bmatrix}^{T} = \frac{1}{17\cdot 16-14\cdot 31}\cdot \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix} =-\frac{1}{162} \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix}\)
Stąd
\( X = -\frac{1}{162} \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix} =-\frac{1}{162}\begin{bmatrix} -77 & 37 \\ -185 & 91 \\ -46 &20 \end{bmatrix}.\)
Sprawdzamy, czy dla tak określonej macierzy \( X \) dany iloczyn macierzy - dane równanie macierzowe jest spełnione.
OCTAVE
Kod: Zaznacz cały
>> [77/162,-37/162;185/162,-91/162;46/162,-20/162]*[2,3,4;1,6,2]*[1,2;5,2;0,1]
ans =
1 3
2 7
1 2
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 28
- Rejestracja: 05 kwie 2024, 00:17
- Otrzymane podziękowania: 8 razy
Re: działanie macierze
Janusz55
W treści zadania w macierzy \(A\) kolejność liczb w pierwszym wierszu to \(2\ 4\ 3\) zaś w zaprezentowanym rozwiązaniu widzę kolejność \(2\ 3\ 4\). Czy to przypadkiem nie jest pomyłka?
Wówczas wynik wyszedłby taki, jak u mnie.
W treści zadania w macierzy \(A\) kolejność liczb w pierwszym wierszu to \(2\ 4\ 3\) zaś w zaprezentowanym rozwiązaniu widzę kolejność \(2\ 3\ 4\). Czy to przypadkiem nie jest pomyłka?
Wówczas wynik wyszedłby taki, jak u mnie.
-
- Fachowiec
- Posty: 2018
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 484 razy
Re: działanie macierze
Ta zmianakolumny macierzy \( A \) nie wpływa na wynik. Musi być spełnione równanie macierzowe. Jak wykazałem w programie OCTAVE lewa jego strona jest równa prawej - macierzy \( C.\)
Twoje rozwiązanie
OCTAVE
też jest poprawne.
Twoje rozwiązanie
OCTAVE
Kod: Zaznacz cały
>> [1,3;2,7;1,2]*[-16/113,15/113;31/113,-22/113]*[2,4,3;1,6,2]*[1,2;5,2;0,1]
ans =
1 3
2 7
1 2