forum.zadania.info

Środkowe trójkąta ABC przeprowadzono z wierzchołków A i B mają długości równe odpowiednio 9 i
12
a przecinają się pod kątem prostym. Oblicz długości boków AB i AC
nie za bardzo wiem o co chodzi z tym środkiem ciężkości:/, jak to możliwe że w odpowiedziach
AS=2/3? oraz BS=2/3? czy ktoś mógłby mi pomóc?
Z góry dziękuje

Przedstawiłeś na rysunku dwusieczne kątów \( A, B \), zamiast środkowe boków \( \overline{BC}, \overline{AC}.\)

Środek ciężkości, to punkt przecięcia się środkowych boków.

Korzystamy z twierdzenia.
Środkowe trzech boków trójkąta przecinają w jednym punkcie (środku ciężkości), który dzieli każdą ze środkowych na dwa odcinki. Odcinek przylegający do wierzchołka jest dwa razy większy od drugiego.

Jeśli środek ciężkości trójkąta oznaczymy literką \( S\) to korzystając z tego twierdzenia:

\( |\overline{AS}|= \frac{2}{3}\cdot 9 = 6, \ \ |\overline{BS}| = \frac{2}{3}\cdot 12 = 8. \)

Długości pozostałych odcinków środkowych:

\( |\overline{SD}|= \frac{1}{3}\cdot 9 = 3, \ \ |\overline{SE}|= \frac{1}{3}\cdot 12 = 4.\)

Z trójkąta prostokątnego \( ABS: \ \ |\overline{AB}|^2 = |\overline{AS}|^2 + |\overline{BS}|^2 = ...\)

Z trójkąta prostokątnego \( ASE \) połowa długości boku \(\overline{BC} \) jest równa \( |\overline{AE}| = \sqrt{|AS|^2 - |SE|^2} = ...\)

Ze schludnego (!) rysunku i własności środkowych:

1. \(|AS|=6,\ |SL|=3,\ |BS|=8,\ |SK|=4\)
2. z tw. Pitagorasa:
   • \(|AB|=\sqrt{6^2+8^2}=\ldots\)
   • \(|AK|=\sqrt{6^2+4^2}=\ldots\)
   • \(|LB|=\sqrt{3^2+8^2}=\ldots\)
3. \(|AC|=2\cdot|AK|,\ |BC|=2\cdot|LB|\)

Pozdrawiam