Środkowe trójkąta ABC przeprowadzono z wierzchołków A i B mają długości równe odpowiednio 9 i
12
a przecinają się pod kątem prostym. Oblicz długości boków AB i AC
nie za bardzo wiem o co chodzi z tym środkiem ciężkości:/, jak to możliwe że w odpowiedziach
AS=2/3? oraz BS=2/3? czy ktoś mógłby mi pomóc?
Z góry dziękuje
Planimetria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1613
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Planimetria
Przedstawiłeś na rysunku dwusieczne kątów \( A, B \), zamiast środkowe boków \( \overline{BC}, \overline{AC}.\)
Środek ciężkości, to punkt przecięcia się środkowych boków.
Środek ciężkości, to punkt przecięcia się środkowych boków.
-
- Fachowiec
- Posty: 1613
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Planimetria
Korzystamy z twierdzenia.
Środkowe trzech boków trójkąta przecinają w jednym punkcie (środku ciężkości), który dzieli każdą ze środkowych na dwa odcinki. Odcinek przylegający do wierzchołka jest dwa razy większy od drugiego.
Jeśli środek ciężkości trójkąta oznaczymy literką \( S\) to korzystając z tego twierdzenia:
\( |\overline{AS}|= \frac{2}{3}\cdot 9 = 6, \ \ |\overline{BS}| = \frac{2}{3}\cdot 12 = 8. \)
Długości pozostałych odcinków środkowych:
\( |\overline{SD}|= \frac{1}{3}\cdot 9 = 3, \ \ |\overline{SE}|= \frac{1}{3}\cdot 12 = 4.\)
Z trójkąta prostokątnego \( ABS: \ \ |\overline{AB}|^2 = |\overline{AS}|^2 + |\overline{BS}|^2 = ...\)
Z trójkąta prostokątnego \( ASE \) połowa długości boku \(\overline{BC} \) jest równa \( |\overline{AE}| = \sqrt{|AS|^2 - |SE|^2} = ...\)
Środkowe trzech boków trójkąta przecinają w jednym punkcie (środku ciężkości), który dzieli każdą ze środkowych na dwa odcinki. Odcinek przylegający do wierzchołka jest dwa razy większy od drugiego.
Jeśli środek ciężkości trójkąta oznaczymy literką \( S\) to korzystając z tego twierdzenia:
\( |\overline{AS}|= \frac{2}{3}\cdot 9 = 6, \ \ |\overline{BS}| = \frac{2}{3}\cdot 12 = 8. \)
Długości pozostałych odcinków środkowych:
\( |\overline{SD}|= \frac{1}{3}\cdot 9 = 3, \ \ |\overline{SE}|= \frac{1}{3}\cdot 12 = 4.\)
Z trójkąta prostokątnego \( ABS: \ \ |\overline{AB}|^2 = |\overline{AS}|^2 + |\overline{BS}|^2 = ...\)
Z trójkąta prostokątnego \( ASE \) połowa długości boku \(\overline{BC} \) jest równa \( |\overline{AE}| = \sqrt{|AS|^2 - |SE|^2} = ...\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3540
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1946 razy
Re: Planimetria
Ze schludnego (!) rysunku i własności środkowych:
- \(|AS|=6,\ |SL|=3,\ |BS|=8,\ |SK|=4\)
- z tw. Pitagorasa:
- \(|AB|=\sqrt{6^2+8^2}=\ldots\)
- \(|AK|=\sqrt{6^2+4^2}=\ldots\)
- \(|LB|=\sqrt{3^2+8^2}=\ldots\)
- \(|AC|=2\cdot|AK|,\ |BC|=2\cdot|LB|\)