forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru m funkcja jest ciągła:

\(f(x)= \begin{cases} \dfrac{ \sqrt{x+3}-1 }{2x+4} & \text{dla} & x \neq -2 , x \ge -3\\ m& \text{dla} & x=-2\end{cases}\)

\( \Lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{2x+3}-1}{2x+4} = \left [\frac{0}{0}\right][H] = ... = m \)

Odpowiedź: \( m = \frac{1}{4}. \)

W szkole ponadpodstawowej, wg mnie, powinno być
\[ \Lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{x+3}-1}{2x+4} = \Lim_{x\to -2} \frac{(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(2x+4)(\sqrt{x+3}+1)} = \Lim_{x\to -2} \frac{x+3-1}{2(x+2)(\sqrt{x+3}+1)} =\\=\Lim_{x\to -2} \frac{1}{2(\sqrt{x+3}+1)} =\frac{1}{2(\sqrt{1}+1)}={1\over4}\]
i rzeczywiście \(m={1\over4}\).

Pozdrawiam
PS.

janusz55 pisze: ↑17 kwie 2024, 12:47 \[ \Lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{\color{red}{2}x+3}-1}{2x+4} =\ldots \]

bad-klick

Mam \( 2 \) czarną.

Mamy dwa sposoby rozwiązania. Podstawowy i ponadpodstawowy.

janusz55 pisze: ↑17 kwie 2024, 21:57 Mam \( 2 \) czarną.

A powinna w ogóle być?

Miłego wieczoru!

W moim przykładzie, który podałem nie mam 2

A co z przedziałem x większy bądź równy -3 - dlaczego tego się nie sprawdza?

Parametr \(m\) jest związany z argumentem \(x=-2\), stąd nasze zaniedbanie... Przydałby się komentarz:
"Na podstawie znanych faktów funkcja \(f\) jest ciągła na przedziałach \([-3;-2)\) oraz \((-2;+\infty)\)"

Pozdrawiam

Dla \( x<-3 \) - pierwiastek kwadratowy funkcji byłby mniejszy od zera. Dla \( x=-2 \) w mianowniku funkcji wystąpiłoby zero,

Dlatego autorzy zadania, podając wzór funkcji określili jej dziedzinę.

\( D_{f} = \{ x\in\rr: x\geq -3 \wedge x \neq -2 \} \)

Ze wzoru funkcji wynika, że nieciągłość występuje w punkcie \( x = -2. \)

W punkcie \( x=-2 \) granica funkcji musi być równa wartości funkcji. Sklejamy wykres funkcji w tym punkcie.

To nie jest "nasze zaniedbanie". Można też określić dziedzinę funkcji jako sumę przedziałów \( [-3, -2)\cup (-2, +\infty) \) i obliczyć granice jednostronne:

\( \Lim_{x\to -2^{-}} \frac{\sqrt{x+3} -1}{2x+4} = \Lim_{x\to -2^{+}} \frac{\sqrt{x+3} -1}{2x+4} = \frac{1}{4} = m.\)