Równoległobok

[lorky]

Dany jest równoległobok o wierzchołkach ABCD i kącie ostrym przy wierzchołku A. Boki równoległoboku mają długości 10cm i 8cm, a jedna z przekątnych ma długość 14cm. Punkt S jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Oblicz:
a) długość drugiej przekątnej
b) pole równoległoboku
c) długości obu wysokości równoległoboku
d) sinus kąta SAD
e) cosinus kąta rozwartego między przekątnymi
f) promień okręgu opisanego na trójkącie ABD
g) promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

[trollini]

Niech \( \angle BAC= \alpha \) oraz \( \angle ADC= \beta \).
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ACD\) mamy:
\(14^2=8^2+10^2-2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos \beta \)
\(196=64+100-160 \cos \beta \)
\( \cos \beta =- \frac{1}{5} \)
\( \cos \alpha =- \cos \beta = \frac{1}{5} \)
W trójkącie \(ADB\) z twierdzenia cosinusów:
\(DB^2=8^2+10^2-2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos \alpha \)
\(DB=2 \sqrt{33} \)

[trollini]

Z poprzedniego podpunktu mamy, że \( \cos \alpha = \frac{1}{5} \).
Z jedynki trygonometrycznej otrzymamy, że \( \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{6} }{5} \).
Wykorzystamy wzór na pole równoległoboku \(P=a \cdot b \cdot \sin \alpha \).
\(P=10 \cdot 8 \cdot \frac{2 \sqrt{6} }{5} \)
\(P=32 \sqrt{6} \)

[trollini]

Podpunkt c.
Obliczyliśmy już pole równoległoboku \(P=32 \sqrt{6} \)
Kolejny wzór na pole to \(P=a \cdot h\)
\(10 \cdot h_1=32 \sqrt{6} \)
\(h_1= \frac{16 \sqrt{6} }{5} \)
\(8 \cdot h_2=32 \sqrt{6} \)
\(h_2=4 \sqrt{6} \)

[trollini]

Podpunkt d.
Niech \( \angle SAD= \gamma \). Przekątne w równoległoboku dzielą się na połowy.
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(SAD\) mamy
\( \left( \sqrt{33} \right)^2=8^2+7^2-2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos \gamma \)
\(112 \cos \gamma =80\)
\( \cos \gamma = \frac{5}{7} \)
Z jedynki trygonometrycznej \( \sin \gamma = \frac{2 \sqrt{6} }{7} \)

[trollini]

Podpunkt e.
Niech \( \delta \) oznacza kąt rozwarty między przekątnymi. Ze wzoru na pole równoległoboku \(P= \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \delta \) mamy
\( \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 2 \sqrt{33} \cdot \sin \delta =32 \sqrt{6} \)
\(sin \delta = \frac{16 \sqrt{6} }{7 \sqrt{33} } \)
Z jedynki trygonometrycznej \( \cos \delta =- \frac{3 \sqrt{33} }{77} \)

[trollini]

Podpunkt f.
Niech \(R\) oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie \(ABD\).
Z twierdzenia sinusów \( \frac{2 \sqrt{33} }{ \sin \alpha =2R} \So R= \frac{5 \sqrt{22} }{4} \)

[trollini]

Podpunkt g.
Niech \(r\) oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\), zaś \(p\) to połowa obwodu tego trójkąta. Z kolei pole trójkąta \(ABC\) to połowa pola równoległoboku.
\(p= \frac{10+8+14}{2}=16 \)
Ze wzoru na pole trójkąta \(P=r \cdot p\) otrzymamy
\(r \cdot 8=16 \sqrt{6} \So r=2 \sqrt{6} \)