forum.zadania.info

Przekrój sześciokątny IJKLMN przechodzi przez środki krawędzi sześcianu ABCDEFGH, (patrz rysunek).
Oblicz stosunek pola powierzchni tego przekroju do pola powierzchni sześcianu oraz tangens kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy sześcianu.

Niech krawędź sześcianu ma długość \(a>0\), \(M'\) będzie rzutem prostokątnym punku \(M\) na podstawę \(ABCD\) sześcianu, \(\alpha\) - interesującym kątem dwuściennym. Wtedy

1. bok sześciokąta ma długość \({\sqrt2\over2}a\)
2. \(\dfrac{P_P}{P_{sz}}=\dfrac{6\cdot\frac{\left({\sqrt2\over2}a\right)^2\sqrt3}{4}}{6a^2}=\ldots\)
3. \(\begin{cases}|MM'|=a\\ |M'I|={\sqrt2\over2}a\\\alpha=|\angle MIM'|\end{cases}\So\tg\alpha=\dfrac{a}{{\sqrt2\over2}a}=\ldots\)

Pozdrawiam