Do obliczenia całka krzywolniowa nieskierowana
gdzie K jest półokręgiem x^2+y^2=4 dla x >= 0
Dzięki z gory
Całka krzywoliniowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Całka krzywoliniowa
Cześć, prośba o pomoc z zadankiem
Do obliczenia całka krzywolniowa nieskierowana
gdzie K jest półokręgiem x^2+y^2=4 dla x >= 0
Dzięki z gory
Do obliczenia całka krzywolniowa nieskierowana
gdzie K jest półokręgiem x^2+y^2=4 dla x >= 0
Dzięki z gory
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1937
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 460 razy
Re: Całka krzywoliniowa
Łuk \( K \) jest wykresem funkcji \( y = \sqrt{4-x^2} \) pomiędzy punktami \( (0,2) \) i \( (2,0).\)
Metoda 1
Do obliczenia całki \( \int_{K} y^2(x) dl \) wykorzystamy wzór:
\( \int_{\Gamma} f(x,y)dl = \int_{a}^{b} f(x, y(x))\sqrt{1 +[y'(x)]^2} dx.\)
\( a = 0, \ \ b = 2. \)
\( f(x, y) = y^2(x) = [\sqrt{4-x^2}]^2 = 4 -x^2.\)
\( dl = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} = \sqrt{1 +\left[\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}\right]^2} dx = \sqrt{\frac{4-x^2+x^2}{4 -x^2}} dx = \sqrt{\frac{4}{4-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx.\)
Podstawiamy do całki:
\(\int_{K} y^2(x) dl = \int_{0}^{2} \frac{(4-x^2)\cdot 2}{\sqrt{4-x^2}}dx = 2\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}dx = \)
Podstawienia: \( x = 2\sin(t), \ \ dx = 2\cos(t) dt \)
\( = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{4 - 4\sin^2(t)}\cos(t) dt = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4\cos^2(t)}\cos(t) dt = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t)dt = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2t)}{2} dt = \)
Podstawienia: \( u = 2t, \ \ du = 2dt. \)
\( = 8\int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos(u)}{2}\cdot \frac{du}{2} = \frac{8}{2}\left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(u)}{2}\right]_{0}^{\pi} = 4\cdot \frac{\pi}{2} + 4\cdot \frac{\sin(\pi)}{2} = 2\pi+ 0 = 2\pi. \)
Metoda 2
Korzystamy ze wzoru:
\( \int_{\Gamma} f(x,y)dl = \int_{\alpha}^{\beta} f[(x(t), y(t)] \sqrt{x'^2(t) +y'^2(t)} dt. \)
Parametryzujemy ćwiartkę okręgu współrzędnymi biegunowymi.
\(\begin{cases} x(t) = 2\sin(t), \\ y(t) = 2\cos(t), \\ t = \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \end{cases} \)
\( \int_{K} y^2dl = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [4 -4\sin^2(t)] \sqrt{[2\cos(t)]^2 + [-2\sin(t)]^2} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [4-4\sin^2(t)]\sqrt{4} dt = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1 -\frac{1-\cos(2t)}{2}\right)dt = \)
\(= 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}+ \frac{\cos(2t)}{2} \right]dt = 8 \left[ \frac{1}{2}t +\frac{1}{4}\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[4t +2\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4\cdot \frac{\pi}{2} + 2\sin(\pi) = 2\pi + 2\cdot 0 = 2\pi.\)
Metoda 1
Do obliczenia całki \( \int_{K} y^2(x) dl \) wykorzystamy wzór:
\( \int_{\Gamma} f(x,y)dl = \int_{a}^{b} f(x, y(x))\sqrt{1 +[y'(x)]^2} dx.\)
\( a = 0, \ \ b = 2. \)
\( f(x, y) = y^2(x) = [\sqrt{4-x^2}]^2 = 4 -x^2.\)
\( dl = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} = \sqrt{1 +\left[\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}\right]^2} dx = \sqrt{\frac{4-x^2+x^2}{4 -x^2}} dx = \sqrt{\frac{4}{4-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx.\)
Podstawiamy do całki:
\(\int_{K} y^2(x) dl = \int_{0}^{2} \frac{(4-x^2)\cdot 2}{\sqrt{4-x^2}}dx = 2\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2}dx = \)
Podstawienia: \( x = 2\sin(t), \ \ dx = 2\cos(t) dt \)
\( = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{4 - 4\sin^2(t)}\cos(t) dt = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4\cos^2(t)}\cos(t) dt = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t)dt = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2t)}{2} dt = \)
Podstawienia: \( u = 2t, \ \ du = 2dt. \)
\( = 8\int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos(u)}{2}\cdot \frac{du}{2} = \frac{8}{2}\left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(u)}{2}\right]_{0}^{\pi} = 4\cdot \frac{\pi}{2} + 4\cdot \frac{\sin(\pi)}{2} = 2\pi+ 0 = 2\pi. \)
Metoda 2
Korzystamy ze wzoru:
\( \int_{\Gamma} f(x,y)dl = \int_{\alpha}^{\beta} f[(x(t), y(t)] \sqrt{x'^2(t) +y'^2(t)} dt. \)
Parametryzujemy ćwiartkę okręgu współrzędnymi biegunowymi.
\(\begin{cases} x(t) = 2\sin(t), \\ y(t) = 2\cos(t), \\ t = \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \end{cases} \)
\( \int_{K} y^2dl = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [4 -4\sin^2(t)] \sqrt{[2\cos(t)]^2 + [-2\sin(t)]^2} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [4-4\sin^2(t)]\sqrt{4} dt = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1 -\frac{1-\cos(2t)}{2}\right)dt = \)
\(= 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}+ \frac{\cos(2t)}{2} \right]dt = 8 \left[ \frac{1}{2}t +\frac{1}{4}\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[4t +2\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4\cdot \frac{\pi}{2} + 2\sin(\pi) = 2\pi + 2\cdot 0 = 2\pi.\)