forum.zadania.info

Powierzchnia boczna stożka o promieniu podstawy R ,wysokości h jest naładowana jednorodnie z gęstością d oblicz potencjał w wierzchołku tego stożka.

Bardzo proszę o pomoc w zrobieniu zadania. Ja wyliczyłem wkład potencjału do wierzchołka od jednego kołka o promieniu x I odległości z od jego środka do pewnego pkt nad nim. I potem calkowalem te wkłady ale wyszło źle. Skorzystałem też z podobieństwa stożków, dołączyłbym zdjęcie ale jest za dużePozdrawiam

Zależy po czym calkowales, chyba nie po kącie bo jest ten sam. Najlepiej jak reprezentujesz swoje rachunki [...]

Wydzielamy z powierzchni bocznej stożka pierścień - równoległy do jego podstawy w odległości \( y + dy \) od wierzchołka \( C \) stożka.

\( 2\theta \) - kąt rozwarcia stożka.

Promień pierścienia: \( r = y\tg(\theta).\)

Wysokość nachylenia krawędzi bocznej pierścienia: \( h'= \sqrt{2}\cdot dy.\)

Pole pierścienia: \( ds = 2\pi \cdot y\cdot \sqrt{2}\cdot dy.\)

Ładunek pierścienia: \( dq = 2\pi \cdot y \cdot d \cdot \sqrt{2}\cdot dy \)

Wartość potencjału skalarnego w wierzchołku \( C \) stożka od naładowanego pierścienia:

\( dV(C) = \frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_{o}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\cdot y} \cdot d \cdot 2\pi \cdot y \cdot \sqrt{2} \cdot dy = \frac{d}{2\varepsilon_{o}} dy \)

Wartość potencjału skalarnego w wierzchołku \( C \) stożka:

\( V(C) = \int_{0}^{R} dV(C) = \frac{d}{2\varepsilon_{o}}\int _{0}^{R} dy = \frac{d\cdot R}{2\varepsilon_{o}}.\)

Wydzielamy z powierzchni bocznej stożka pierścień - równoległy do jego podstawy w odległości \( y + dy \) od wierzchołka \( C \) stożka.

\( 2\theta \) - kąt rozwarcia stożka.

Promień pierścienia: \( r = y\tg(\theta).\)

Wysokość nachylenia krawędzi bocznej pierścienia: \( h'= \sqrt{2}\cdot dy.\)

Pole pierścienia: \( ds = 2\pi \cdot y\cdot \sqrt{2}\cdot dy.\)

Ładunek pierścienia: \( dq = 2\pi \cdot y \cdot d \cdot \sqrt{2}\cdot dy \)

Wartość potencjału skalarnego w wierzchołku \( C \) stożka od naładowanego pierścienia:

\( dV(C) = \frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_{o}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\cdot y} \cdot d \cdot 2\pi \cdot y \cdot \sqrt{2} \cdot dy = \frac{d}{2\varepsilon_{o}} dy \)

Wartość potencjału skalarnego w wierzchołku \( C \) stożka:

\( V(C) = \int_{0}^{h} dV(C) = \frac{d}{2\varepsilon_{o}}\int _{0}^{h} dy = \frac{d\cdot h}{2\varepsilon_{o}}.\)