forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\) dla których funkcja kwadratowa \(f(x) = x^2 -2(1-p)x + 1 \) ma dwa miejsca zerowe należące do przedziału \((-2, 1)\).
Wiem, że wyróżnik musi być dodatni, więc \(p \in (-\infty, 0) \cup (2,+\infty)\) oraz, że oba rozwiązania są tego samego znaku z wzorów Viete’a, ale nie potrafię dojść do przedziału z odpowiedzi, który wynosi \((2, 2 \frac{1}{4} )\)

Zadanie z podręcznika dla 2 klasy z matematyki firmy pazdro w temacie równania i nierówności kwadratowe z parametrem. 9 zad na stronie 173

Delta dobrze. Wniosek o równych znakach wydaje się być prawidłowy.
Skoro mają należeć do przedziału \( \left( -2, 1\right) \) to:
\( \left( x_1 + 2 \right) + \left( x_2 + 2\right) > 0 \wedge \left( x_1 - 1 \right) + \left( x_2 - 1\right) < 0\)
oraz:
\( \left( x_1 + 2 \right) \cdot \left( x_2 + 2\right) > 0 \wedge \left( x_1 - 1 \right) \cdot \left( x_2 -1 \right) > 0 \)

Sprawdziłem - z tych czterech powyższych wychodzi \(p \in \left( 0, \frac{9}{4} \right) \) i łącząc z warunkiem, który już znalazłeś faktycznie jest \(p \in \left( 2, \frac{9}{4} \right) \) - więc musisz zrobić poprawnie te cztery warunki. \(\frac{9}{4}\) wynika konkretnie z tego: \(\left( x_1 + 2 \right) \cdot \left( x_2 + 2\right) > 0\)

Tulio pisze: ↑04 kwie 2024, 13:13 Delta dobrze. Wniosek o równych znakach wydaje się być prawidłowy.
Skoro mają należeć do przedziału \( \left( -2, 1\right) \) to:
\( \left( x_1 + 2 \right) + \left( x_2 + 2\right) > 0 \wedge \left( x_1 - 1 \right) + \left( x_2 - 1\right) < 0\)
oraz:
\( \left( x_1 + 2 \right) \cdot \left( x_2 + 2\right) > 0 \wedge \left( x_1 - 1 \right) \cdot \left( x_2 -1 \right) > 0 \)

Sprawdziłem - z tych czterech powyższych wychodzi \(p \in \left( 0, \frac{9}{4} \right) \) i łącząc z warunkiem, który już znalazłeś faktycznie jest \(p \in \left( 2, \frac{9}{4} \right) \) - więc musisz zrobić poprawnie te cztery warunki. \(\frac{9}{4}\) wynika konkretnie z tego: \(\left( x_1 + 2 \right) \cdot \left( x_2 + 2\right) > 0\)

Dzięki wielkie, już wszystko rozumiem!

\( f(x) = x^2 -2(1-p)x + 1 \)

Warunki:

\( \begin{cases} \Delta >0, \\ a\cdot f(p)>0, \\ a\cdot f(q) >0 \\ 2p < -\frac{b}{a} <2 q \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4(1-p)^2 - 4 >0 \\ 1\cdot f(-2)> 0 \\ 1\cdot f(1)>0 \\ -4 < 2(1-p)< 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} p\in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \\ p< \frac{9}{4} \\ p>0 , \\ 0< p < 3.\end{cases} \)

Część wspólna tych nierówności \( p \in \left( 2, \frac{9}{4}\right).\)