Mam taką macierz i chciałbym ją rozwiązać zarówno metodą Gaussa jak Guasse-Seidla. To co już zrobiłem to odjąłem 3 wiersz od od drugiego i ta macierz wygląda tak:
|3,2,1|4|
|0,1,0|1|
|1,0,2|4|
jaki dalszy krok powinienem podjąć, żeby sie pojawiło 0 w 3 wierszu , pierwszej kolumny.
Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
hutsaloviaheslav1998
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 26 lut 2022, 15:16
- Podziękowania: 95 razy
Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1874
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla
Metoda Gaussa
Macierz układu
\( \begin{bmatrix} 3 &2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)
sprowadzamy do zredukowanej postaci schodkowej operacjami elementarnymi na wierszach.
\( w_{1} \leftrightarrow w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} -3w_{1} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -5 & -11 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} + w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -10 \end{bmatrix} \)
\( w_{3}\cdot \left(\frac{-1}{5}\right) \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} - 2w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} - w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)
Macierz układu
\( \begin{bmatrix} 3 &2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)
sprowadzamy do zredukowanej postaci schodkowej operacjami elementarnymi na wierszach.
\( w_{1} \leftrightarrow w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} -3w_{1} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -5 & -11 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} + w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -10 \end{bmatrix} \)
\( w_{3}\cdot \left(\frac{-1}{5}\right) \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} - 2w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} - w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1874
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla
Metoda Gaussa-Seidla
\( \begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3} = 4 \\ 0x_{1} + x_{2} + 0x_{3} = 1\\ x_{1} +x_{2}+2x_{3} = 5 \end{cases} \)
Stosujemy iteracje do wszystkich równań układu
\( \begin{cases} x_{1}^{(k)} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3}x_{2}^{(k)} -\frac{1}{3}x_{3}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}= 1 \\ x_{3}^{(k)} = \frac{5}{2}- \frac{1}{2}x_{2}^{(k)} \end{cases} \)
W pierwszej iteracji otrzymujemy
\( \begin{cases} x_{1}^{(1)} = \frac{4}{3}- \frac{2}{3}x_{2}^{(1)} - \frac{1}{3}x_{3}^{(1)} \\x_{2}^{(1)} = 1 \\ x_{3}^{(1)} = \frac{5}{2} -\frac{1}{2}x_{2}^{(1)} \end{cases} \)
Stąd
\( \begin{cases} x_{1}^{(1)} = \frac{4}{3} -\frac{2}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3} = 0 \\ x_{2}^{(1)} = 1 \\ x_{3}^{(1)} =\frac{5}{2}- \frac{1}{2}\cdot 0 -\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{4}{2} = 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3} = 4 \\ 0x_{1} + x_{2} + 0x_{3} = 1\\ x_{1} +x_{2}+2x_{3} = 5 \end{cases} \)
Stosujemy iteracje do wszystkich równań układu
\( \begin{cases} x_{1}^{(k)} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3}x_{2}^{(k)} -\frac{1}{3}x_{3}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}= 1 \\ x_{3}^{(k)} = \frac{5}{2}- \frac{1}{2}x_{2}^{(k)} \end{cases} \)
W pierwszej iteracji otrzymujemy
\( \begin{cases} x_{1}^{(1)} = \frac{4}{3}- \frac{2}{3}x_{2}^{(1)} - \frac{1}{3}x_{3}^{(1)} \\x_{2}^{(1)} = 1 \\ x_{3}^{(1)} = \frac{5}{2} -\frac{1}{2}x_{2}^{(1)} \end{cases} \)
Stąd
\( \begin{cases} x_{1}^{(1)} = \frac{4}{3} -\frac{2}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3} = 0 \\ x_{2}^{(1)} = 1 \\ x_{3}^{(1)} =\frac{5}{2}- \frac{1}{2}\cdot 0 -\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{4}{2} = 2 \end{cases} \)