forum.zadania.info

dla jakich wartości \(k\) równanie \(x^2-(k-1)x-k=0\) ma 2 różne ujemne rozwiązania ?

\(x^2-(k-1)x-k=0 \\
(x-k)(x+1)=0\)

Odp: \((k<0) \wedge (k \neq -1)\)

\( x^2 -(k-1)x -k = 0 \)

Równanie kwadratowe \( ax^2 +bx + c = 0 \) ma dwa różne rozwiązania ujemne, gdy spełniony jest układ warunków:

\( \begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta >0, \\ x_{1}+x_{2} < 0, \\ x_{1}\cdot x_{2} >0 \end{cases} \)

Stąd

\( \begin{cases} a = 1 \neq 0 \\ \Delta = b^2-4ac = (k-1)^2 + 4k = k^2-2k+1+4k = k^2+2k +1 = (k+1)^2>0 \\ -\frac{b}{a}= k-1<0 \\ \frac{c}{a}= -k>0 \end{cases} \)

\(\begin{cases} k\neq -1 \\ k< 1 \\ k<0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k\neq -1 \\ k<0 \end{cases} \)