Zadanie na zaliczenie

[BiednyStudent]

Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie poniższych zadań:

1. Modelem pewnego eksperymentu dwumianowego jest zmienna losowa 𝑋 dla której wartość oczekiwana wynosi 6 a wariancja 3. Podać przykład eksperymentu, który ten model opisuje. Obliczyć prawdopodobieństwo najbardziej prawdopodobnego zdarzenia w tym eksperymencie.

2. Waga towarów wysyłanych w kontenerach określonych wymiarów jest normalną zm. l. 𝑋 o nieznanych parametrach. Wiadomo, że 65% kontenerów wykazuje wagę netto ponad 4,9 ton, a 25% kontenerów − wagę netto mniejszą niż 4,2 tony.
a) Znajdź nieznane parametry rozkładu wagi towarów wysłanych w tych kontenerach. b) Jaki % kontenerów ma wagę w przedziale od 4 do 5 ton?
Wskazówka. P(𝑋>4,9)=0,65 oraz P(𝑋<4,2)=0,25 stąd Φ(4,9−𝜇 𝜎 )=0,35 oraz Φ(4,2−𝜇 𝜎 )=0,25

3.Czas budowy pewnego typu budynku jest normalną zm. l. o nieznanych parametrach. Wiadomo jednak, że w 75% przypadków budowa trwa mniej niż 12 miesięcy, a w 45% przypadków − mniej niż 10 miesięcy.
a) Wyznacz przeciętny czas budowy i odchylenie standardowe tego czasu. b) Na ile miesięcy należy zaplanować czas budowy, aby mieć 90% pewność jej ukończenia?

[janusz55]

Zadanie 1
Żeby skonstruować jakiś sensowny model zmiennej losowej \( X \) o rozkładzie dwumianowym musimy na podstawie danych: wartości oczekiwanej i wariacji obliczyć parametry \( n, \ \ p. \)

Rozwiązujemy układ równań:

\( \begin{cases} n\cdot p = 6 \\ n\cdot p \cdot (1-p) = 3 \end{cases} \)

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego - otrzymujemy \( p = \frac{1}{2}, \ \ n = 12.\)

Mamy więc rozkład

\( P(\{X = k\}) = {12\choose k}\left(\frac{1}{2} \right)^{k} \left( \frac{1}{2}\right)^{12-k}, \ \ k = 0,1,2,\ \ ... \ \ ,12. \)

Przykładem może być centrala, w której dokonuje się \( n = 12 \) niezależnych prób połączenia telefonicznego. Prawdopodobieństwo uzyskania połączenia w pojedynczej próbie wynosi \( p = \frac{1}{2}.\)

Prawdopodobieństwo najbardziej prawdopodobnego połączenia:

\( (k+1)\cdot p = \frac{13}{2}= 6,5 \notin \zz.\)

Stąd

\( k_{0}< 6,5 = 6 \in \zz , \ \ p_{0} = \frac{k_{0}}{n} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \)

[janusz55]

Zadanie 2

\( X \sim \mathcal{N}(m, \sigma).\)

Na podstawie danych wartości prawdopodobieństw

(a)
\( \begin{cases} Pr( \{ X >4,9t\}) = 65\% = 0,65, \\ Pr(\{X < 4,2 t\}) = 25\% = 0,25 \end{cases} \)

obliczymy wartość średnią \( m \) i odchylenie standardowe \( \sigma. \)

Przechodzimy do standaryzacji

\( \begin{cases} Pr\left(\frac{X -m}{\sigma} > \frac{4.9 -m}{\sigma}\right) = 0,65 \\ Pr\left(\frac{X -m}{\sigma} < \frac{4.2 -m}{\sigma}\right)=0,25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} Pr\left(\frac{X -m}{\sigma} < \frac{4.9 -m}{\sigma}\right) = 0,35 \\ Pr\left(\frac{X -m}{\sigma} < \frac{4.2 -m}{\sigma}\right)=0,25 \end{cases} \)

Z tablic dystrybuanty rozkładu \( \mathcal{N}(0,1) \) lub programu komputerowego na przykład R

Kod: Zaznacz cały

> qnorm(0.35)
[1] -0.3853205
> qnorm(0.25)
[1] -0.6744898

otrzymujemy

\( \begin{cases} \phi \left(\frac{4.9 -m}{\sigma} \right) = \phi(-0,39) \\ \phi \left(\frac{4.2 -m}{\sigma} \right) = \phi(-0,67) \end{cases} \)

\( \begin{cases} \frac{4.9 -m}{\sigma} = -0,39 \\ \frac{4.2 -m}{\sigma} = -0,67 \end{cases} \)

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy

\( m = 6t, \ \ \sigma = 2,5t \)

Zmienna losowa na rozkład normalny \( X \sim \mathcal{N}( 6t, \ \ 2,5t). \)

(b)

Proszę obliczyć wartość prawdopodobieństwa

\( Pr(\{ 4t \leq X \leq 5t \}) = \ \ ...,\)

dokonując standaryzacji i odejmując wartości dystrybuant.

[janusz55]

Zadanie 3

Zupełnie podobne do zadania 2.