Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, którego pole jest równe 36. Pole trójkąta BDE jest równe 4, gdzie AE i CD są wysokościami trójkąta ABC.
Wykaż, że cosinus kąta DBE jest równy 1/3.
Obrazek mile widziany.
Zadanie dowodowe planimetria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Zadanie dowodowe planimetria
Niech \(|BC|=a>0,\ |AB|=c>0,\ |\angle ABC|=\beta\in(0^\circ;90^\circ)\). Wtedy:
- \(36=P_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot a\cdot c\cdot\sin\beta\So ac\sin\beta=72\)
- Z \(\Delta ABE:\ |BE|=c\cos\beta\)
- Z \(\Delta DBC:\ |DB|=a\cos\beta\)
- \(4=P_{\Delta DBE}={1\over2}\cdot|BE|\cdot|DB|\cdot\sin\beta={1\over2}\cdot c\cos\beta\cdot a\cos\beta\cdot\sin\beta={1\over2}\cdot\cos^2\beta\cdot72\So\cos^2\beta={1\over9}\)
- Wobec \(\beta\in(0^\circ;90^\circ)\) mamy \(\cos\beta={1\over3}\). CKD