Rozkład gęstości

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zaskronczyk1488
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 17 mar 2024, 17:21
Podziękowania: 1 raz

Rozkład gęstości

Post autor: Zaskronczyk1488 »

Zmienna loswa X ma rozkład o gęstości: \(f(x)=\begin{cases}k(x-x^2)&\text{dla}&0\le x\le 1\\ 0&&\text{poza tym}\end{cases}\)

(1)Wyznaczyć stałą \(k\).
(2) Wyznaczyć dystrybuantę \(F(x)\) zmiennej losowej \(X\).
(3) Wyznaczyć \(E(X)\).
(4) Wyznaczyć \( D^2 (X)\).
Znaleźć wartość oczekiwaną \(E(X)\) oraz wariancję \(D^2 (X)\) tej zmiennej losowej.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1626
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 424 razy

Re: Rozkład gęstości

Post autor: janusz55 »

(1)
Aby funkcja \( f(x) \) była gęstością ciągłej zmiennej losowej \( X \) musi spełniać równanie:

\( 1 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx. \)

\( 1 = \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{1} k(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty} 0dx \)

\(1 = k \int_{0}^{1} (x - x^2)dx = k \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right ]_{0}^{1} = k\left (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}k \)

\( k = 6.\)

Postać zmiennej losowej

\( f(x) = \begin{cases} 6(x-x^2), \ \ 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \ \ \text{w pozostałych przypadkach} \end{cases} \)

(2)
Dla \( x<0 \)

\( F(t) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0.\)

Dla \( 0\leq x < 1 \)

\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty} ^{0} 0dt + \int_{0}^{x} 6(t -t^2)dt = 6\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}{x^3}\right) = 3x -2x^3.\)

Dla \( x \geq 1 \)

\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty} ^{0} 0dt + \int_{0}^{x} 6(t -t^2)dt + \int_{1}^{\infty} 0dt = 0 + \left[3t -2t^3\right]_{0}^{1}+0 = 1.\)

(3)
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_{-\infty}^{0}x\cdot 0dx + \int_{0}^{1} 6x(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty}x\cdot 0dx = 6\left[\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.\)

(4)
Wariancja zmiennej losowej \( X \) jest równa różnicy momentu zwykłego rzędu drugiego \( E(X^2)\) i kwadratu momentu zwykłego rzędu pierwszego czyli kwadratu wartości oczekiwanej tej zmiennej:

\( D^(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)

\( E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}x^2\cdot 0dx + \int_{0}^{1} 6x^2(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty} x^2\cdot 0 dx = 6\left[\frac{x^4}{4} -\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.\)

\( D^2(X) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20}= \frac{1}{20}.\)

Uwaga

Wariancję zmiennej losowej X jako średniokwadratowe odchylenie od średniej możemy też obliczyć ze wzoru:

\( D^2(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx. \)