P: Okrąg dotyka boków AB, BC, CD równoległoboku ABCD odpowiednio w punktach K, L i M. Udowodnić, że prosta KL przecina na pół wysokość równoległoboku narysowanego od wierzchołka C do AB.
Wiem tylko, że linia KC przecina kąt między KL i KM na pół, chociaż nie jestem pewien, dokąd stąd iść.
Pomoc dotycząca geometrii analitycznej!!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Pomoc dotycząca geometrii analitycznej!!
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z szybkimi wnioskami: \(|KB|=|BL|\) oraz \(|LC|=|CM|\)
Pozdrawiam
Przesunąłem również wyjściową figurę o wektor \(\vec{MC}\) oraz narysowałem odcinek \(\overline{KN}\parallel\overline{BC}\). Na rysunku pojawił się romb \(KB'C'N\) z wpisanym okręgiem. Pozostaje wykorzystać jego własności i sformalizować dowód... ale brakuje mi samozaparcia Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Pomoc dotycząca geometrii analitycznej!!
Za pomocą geometrii analitycznej
Wprowadzamy układ współrzędnych prostokątnych \( Oxy \) o początku w środku okręgu \( O(0,0).\)
W tym układzie - współrzędne punktów \( K, M ,C, E \) wynoszą odpowiednio: \( K(0,-R), \ \ M( 0, R), \ \ C(P, R), \ \ E(P.-R),\)
gdzie:
\( (P, 0 ) \) - współrzędna punktu przecięcia się prostej \( KL \) z wysokością równoległoboku.
Stąd
\( |\overline{CP}|^2 = (P -P)^2 +(R- 0)^2 = 0 + R^2 = R^2.\)
\( |\overline{PE}|^2 = (P - P)^2 + (0 +R)^2 = 0 + R^2= R^2.\)
\( |\overline{CP}|= |\overline{PE}| = R.\)
Prosta dzieli wysokość równoległoboku \( h = 2R \) na pół, narysowaną od wierzchołka \( C \) na bok \( \overline{AB}\) równoległoboku.
Wprowadzamy układ współrzędnych prostokątnych \( Oxy \) o początku w środku okręgu \( O(0,0).\)
W tym układzie - współrzędne punktów \( K, M ,C, E \) wynoszą odpowiednio: \( K(0,-R), \ \ M( 0, R), \ \ C(P, R), \ \ E(P.-R),\)
gdzie:
\( (P, 0 ) \) - współrzędna punktu przecięcia się prostej \( KL \) z wysokością równoległoboku.
Stąd
\( |\overline{CP}|^2 = (P -P)^2 +(R- 0)^2 = 0 + R^2 = R^2.\)
\( |\overline{PE}|^2 = (P - P)^2 + (0 +R)^2 = 0 + R^2= R^2.\)
\( |\overline{CP}|= |\overline{PE}| = R.\)
Prosta dzieli wysokość równoległoboku \( h = 2R \) na pół, narysowaną od wierzchołka \( C \) na bok \( \overline{AB}\) równoległoboku.